Номер 11, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

18. Возведение в степень произведения. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 11, страница 81.

Условие.

11. Упростите выражение:

$((2x^3)^2)^4 = (4x^6)^4 = 256x^{24}$

a) $((−3x^6)^3)^2 = \dots$

б) $((2x^5y^4)^4)^2 = \dots$

в) $((-x^2y^3)^3)^5 = \dots$

Решение.

Решение 2.

Для упрощения данных выражений мы будем использовать два основных свойства степеней:

• Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
• Возведение произведения в степень: $(abc)^n = a^n b^n c^n$

а) $ ((-3x^6)^3)^2 $

Сначала воспользуемся свойством возведения степени в степень для внешних скобок, перемножив показатели $3$ и $2$:

$ ((-3x^6)^3)^2 = (-3x^6)^{3 \cdot 2} = (-3x^6)^6 $

Теперь возведем в степень $6$ каждый множитель в скобках:

$ (-3x^6)^6 = (-3)^6 \cdot (x^6)^6 $

Вычислим числовую часть. Так как степень четная ($6$), результат будет положительным:

$ (-3)^6 = 729 $

Теперь вычислим переменную часть, снова используя свойство возведения степени в степень:

$ (x^6)^6 = x^{6 \cdot 6} = x^{36} $

Соединив обе части, получаем конечный результат.

Ответ: $729x^{36}$

б) $ ((2x^5y^4)^4)^2 $

Начнем с перемножения внешних показателей степени $4$ и $2$:

$ ((2x^5y^4)^4)^2 = (2x^5y^4)^{4 \cdot 2} = (2x^5y^4)^8 $

Далее возведем в степень $8$ каждый множитель внутри скобок:

$ (2x^5y^4)^8 = 2^8 \cdot (x^5)^8 \cdot (y^4)^8 $

Вычислим каждый множитель по отдельности:

$ 2^8 = 256 $

$ (x^5)^8 = x^{5 \cdot 8} = x^{40} $

$ (y^4)^8 = y^{4 \cdot 8} = y^{32} $

Объединяем все части вместе.

Ответ: $256x^{40}y^{32}$

в) $ ((-x^2y^3)^3)^5 $

Снова начинаем с перемножения внешних показателей степени $3$ и $5$:

$ ((-x^2y^3)^3)^5 = (-x^2y^3)^{3 \cdot 5} = (-x^2y^3)^{15} $

Выражение $ -x^2y^3 $ можно представить как $ -1 \cdot x^2 \cdot y^3 $. Возведем каждый множитель в степень $15$:

$ (-1 \cdot x^2 \cdot y^3)^{15} = (-1)^{15} \cdot (x^2)^{15} \cdot (y^3)^{15} $

Вычислим каждый множитель:

$ (-1)^{15} = -1 $ (так как степень нечетная, знак минус сохраняется)

$ (x^2)^{15} = x^{2 \cdot 15} = x^{30} $

$ (y^3)^{15} = y^{3 \cdot 15} = y^{45} $

Собираем полученные части.

Ответ: $-x^{30}y^{45}$