Номер 12, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

18. Возведение в степень произведения. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 12, страница 81.

Условие.

12. Найдите значение выражения:

а) $\frac{3^5 \cdot (3^2)^3}{3^{12}} =$

б) $\frac{4^3 \cdot (-2^4)^2}{2^{11}} =$

Решение.

Решение 2.

а)

Для нахождения значения выражения воспользуемся следующими свойствами степеней:

• Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
• Умножение степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
• Деление степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
• Степень с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Рассмотрим выражение: $\frac{3^5 \cdot (3^2)^3}{3^{12}}$

1. Упростим числитель. Сначала выполним возведение степени в степень: $(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6$.

2. Теперь числитель имеет вид $3^5 \cdot 3^6$. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием: $3^5 \cdot 3^6 = 3^{5+6} = 3^{11}$.

3. Подставим полученное значение в дробь: $\frac{3^{11}}{3^{12}}$.

4. Применим правило деления степеней: $\frac{3^{11}}{3^{12}} = 3^{11-12} = 3^{-1}$.

5. Вычислим итоговое значение: $3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б)

Для решения этого примера приведем все степени к одному основанию (к основанию 2) и используем те же свойства степеней. Важно помнить, что отрицательное число, возведенное в четную степень, дает положительный результат.

Рассмотрим выражение: $\frac{4^3 \cdot (-2^4)^2}{2^{11}}$

1. Представим число 4 в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$. Тогда $4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$.

2. Упростим второй множитель в числителе: $(-2^4)^2$. Так как квадрат — это четная степень, знак минус исчезает: $(-2^4)^2 = (2^4)^2$. Теперь возведем степень в степень: $(2^4)^2 = 2^{4 \cdot 2} = 2^8$.

3. Подставим упрощенные части обратно в выражение:

$\frac{2^6 \cdot 2^8}{2^{11}}$

4. Упростим числитель, умножив степени с одинаковым основанием: $2^6 \cdot 2^8 = 2^{6+8} = 2^{14}$.

5. Теперь выражение выглядит так: $\frac{2^{14}}{2^{11}}$.

6. Выполним деление степеней: $\frac{2^{14}}{2^{11}} = 2^{14-11} = 2^3$.

7. Вычислим окончательное значение: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Ответ: 8.