Номер 8, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

18. Возведение в степень произведения. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 8, страница 80.

Условие.

8. Впишите недостающий множитель вида $a^n$ так, чтобы полученное равенство было тождеством:

а) ............ $\cdot (a^2)^3 = a^{10}$;

б) ............ $\cdot (a^7)^2 = a^{15}$;

в) $(a^{12})^2 \cdot$ ............ $= a^{26}$;

г) $(-a^4)^2 \cdot$ ............ $= a^{18}$.

Решение.

Решение 2.

а)Пусть недостающий множитель равен $a^m$. Тогда равенство имеет вид $a^m \cdot (a^2)^3 = a^{10}$. Воспользуемся свойствами степеней. Сначала упростим выражение в скобках, используя правило возведения степени в степень $(x^n)^k=x^{nk}$: $(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$. Теперь равенство выглядит так: $a^m \cdot a^6 = a^{10}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно правилу $x^n \cdot x^k = x^{n+k}$: $a^{m+6} = a^{10}$. Чтобы равенство было тождеством, показатели степеней должны быть равны: $m+6 = 10$. Отсюда находим $m = 10 - 6 = 4$. Следовательно, недостающий множитель — это $a^4$.
Ответ: $a^4$

б)Обозначим искомый множитель как $a^m$. Получаем равенство $a^m \cdot (a^7)^2 = a^{15}$. Упростим второй множитель, используя правило возведения степени в степень: $(a^7)^2 = a^{7 \cdot 2} = a^{14}$. Равенство принимает вид: $a^m \cdot a^{14} = a^{15}$. По правилу умножения степеней с одинаковым основанием: $a^{m+14} = a^{15}$. Приравниваем показатели степеней: $m+14 = 15$. Решаем уравнение: $m = 15 - 14 = 1$. Таким образом, недостающий множитель — это $a^1$, или просто $a$.
Ответ: $a$

в)Пусть пропущенный множитель — это $a^m$. Равенство: $(a^{12})^2 \cdot a^m = a^{26}$. Упростим первый множитель: $(a^{12})^2 = a^{12 \cdot 2} = a^{24}$. Теперь равенство выглядит так: $a^{24} \cdot a^m = a^{26}$. Применяем правило умножения степеней: $a^{24+m} = a^{26}$. Для того чтобы равенство было верным, показатели степеней должны быть равны: $24+m = 26$. Находим $m$: $m = 26 - 24 = 2$. Искомый множитель — $a^2$.
Ответ: $a^2$

г)Обозначим недостающий множитель как $a^m$. Равенство: $(-a^4)^2 \cdot a^m = a^{18}$. Сначала упростим первый множитель. Так как квадрат любого выражения неотрицателен, то есть $(-x)^2 = x^2$, получаем: $(-a^4)^2 = (a^4)^2$. Теперь возведем степень в степень: $(a^4)^2 = a^{4 \cdot 2} = a^8$. Равенство принимает вид: $a^8 \cdot a^m = a^{18}$. Используя свойство умножения степеней, получаем: $a^{8+m} = a^{18}$. Приравниваем показатели: $8+m = 18$. Решаем уравнение относительно $m$: $m = 18 - 8 = 10$. Значит, недостающий множитель равен $a^{10}$.
Ответ: $a^{10}$