Номер 13, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

18. Возведение в степень произведения. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 13, страница 81.

Условие.

13. Какой цифрой оканчивается число, равное значению выражения:

a) $3^8 + 25$;

б) $9^{12} - 1$;

в) $6^{15} + 7$?

Ответ обоснуйте.

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти последнюю цифру значения выражения, достаточно найти последнюю цифру каждого его компонента и выполнить с ними соответствующую арифметическую операцию. Это связано с тем, что последняя цифра результата зависит только от последних цифр операндов.

а) $3^8 + 25$
Сначала определим последнюю цифру числа $3^8$. Последние цифры натуральных степеней числа 3 циклически повторяются: $3^1$ оканчивается на 3, $3^2$ — на 9, $3^3$ — на 7, $3^4$ — на 1, $3^5$ — снова на 3. Период этого цикла равен 4. Чтобы найти последнюю цифру для $3^8$, нужно разделить показатель степени 8 на длину цикла 4. $8 \div 4 = 2$ с остатком 0. Нулевой остаток означает, что последняя цифра будет такой же, как у последнего элемента в цикле (четвертого), то есть 1. Итак, $3^8$ оканчивается на 1.
Второе слагаемое, 25, оканчивается на 5.
Последняя цифра суммы равна последней цифре суммы $1 + 5 = 6$.
Ответ: 6.

б) $9^{12} - 1$
Найдем последнюю цифру числа $9^{12}$. Последние цифры натуральных степеней числа 9 чередуются: $9^1$ оканчивается на 9, $9^2$ — на 1, $9^3$ — снова на 9. Таким образом, если показатель степени нечетный, то последняя цифра — 9, а если четный — то 1. Поскольку 12 — четное число, число $9^{12}$ оканчивается на 1.
Вычитаемое 1 оканчивается на 1.
Последняя цифра разности равна последней цифре разности $1 - 1 = 0$.
Ответ: 0.

в) $6^{15} + 7$
Найдем последнюю цифру числа $6^{15}$. Любая натуральная степень числа 6 оканчивается на 6. Это легко проверить: $6^1 = 6$, $6^2 = 36$, $6^3 = 216$, и так далее. При умножении числа, оканчивающегося на 6, само на себя, последняя цифра результата всегда будет 6. Значит, $6^{15}$ оканчивается на 6.
Второе слагаемое — 7.
Последняя цифра суммы равна последней цифре суммы $6 + 7 = 13$, то есть 3.
Ответ: 3.