Номер 14, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

18. Возведение в степень произведения. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 14, страница 81.

Условие.

14. Является ли целым числом значение выражения:

а) $ \frac{41^4 \cdot 35^5 - 2^2}{10} $;

б) $ \frac{(6^2)^6 \cdot 41^6 - 6^9}{10} $?

Ответ обоснуйте.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы значение выражения было целым числом, необходимо, чтобы его числитель делился на знаменатель (на 10) без остатка. Число делится на 10 нацело тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0. Проверим это условие для каждого выражения.

а) $\frac{41^4 \cdot 35^5 - 2^2}{10}$

Чтобы определить, делится ли числитель $41^4 \cdot 35^5 - 2^2$ на 10, найдем его последнюю цифру.

1. Найдем последнюю цифру числа $41^4$. Так как число 41 оканчивается на 1, любая его натуральная степень также будет оканчиваться на 1.
2. Найдем последнюю цифру числа $35^5$. Так как число 35 оканчивается на 5, любая его натуральная степень (кроме нулевой) будет оканчиваться на 5.
3. Последняя цифра произведения $41^4 \cdot 35^5$ будет такой же, как последняя цифра произведения их последних цифр: $1 \cdot 5 = 5$.
4. Вычислим $2^2 = 4$.
5. Теперь найдем последнюю цифру всего числителя. Это последняя цифра разности числа, оканчивающегося на 5, и числа 4. Получаем $5 - 4 = 1$.

Последняя цифра числителя равна 1. Поскольку она не 0, числитель не делится на 10. Следовательно, значение выражения не является целым числом.

Ответ: не является.

б) $\frac{(6^2)^6 \cdot 41^6 - 6^9}{10}$

Сначала упростим выражение в числителе, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(6^2)^6 \cdot 41^6 - 6^9 = 6^{2 \cdot 6} \cdot 41^6 - 6^9 = 6^{12} \cdot 41^6 - 6^9$.

Теперь определим последнюю цифру числителя $6^{12} \cdot 41^6 - 6^9$.

1. Найдем последнюю цифру числа $6^{12}$. Так как число 6 оканчивается на 6, любая его натуральная степень также будет оканчиваться на 6.
2. Найдем последнюю цифру числа $41^6$. Так как число 41 оканчивается на 1, любая его натуральная степень будет оканчиваться на 1.
3. Последняя цифра произведения $6^{12} \cdot 41^6$ будет такой же, как последняя цифра произведения их последних цифр: $6 \cdot 1 = 6$.
4. Последняя цифра числа $6^9$ также равна 6.
5. Найдем последнюю цифру разности $6^{12} \cdot 41^6 - 6^9$. Она равна последней цифре разности двух чисел, каждое из которых оканчивается на 6. Получаем $6 - 6 = 0$.

Последняя цифра числителя равна 0. Следовательно, числитель делится на 10. Таким образом, значение выражения является целым числом.

Ответ: является.