Номер 15, страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

18. Возведение в степень произведения. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 15, страница 82.

Условие.

15. Зная, что $m^4 = a$, найдите, чему равно произведение:

$(m^3)^{10} \cdot (-m)^6 = m^{30} \cdot m^6 = m^{36} = (m^4)^9 = a^9$

а) $(-m)^{14} \cdot (2m^5)^6 = \dots$

б) $(-m^3)^6 \cdot (-m^2)^3 = \dots$

Решение.

Решение 2.

а) Для того чтобы найти значение произведения $(-m)^{14} \cdot (2m^5)^6$, необходимо упростить каждый из множителей, используя свойства степеней.
1. Упростим первый множитель $(-m)^{14}$. Так как число $14$ является четным показателем степени, отрицательный знак "убирается": $(-m)^{14} = m^{14}$.
2. Упростим второй множитель $(2m^5)^6$. Используем правило возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$ и правило возведения степени в степень $(x^a)^b = x^{ab}$: $(2m^5)^6 = 2^6 \cdot (m^5)^6 = 64 \cdot m^{5 \cdot 6} = 64m^{30}$.
3. Теперь перемножим полученные выражения, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$: $m^{14} \cdot 64m^{30} = 64 \cdot m^{14+30} = 64m^{44}$.
4. По условию задачи $m^4 = a$. Выразим итоговый результат через $a$. Для этого представим $m^{44}$ как степень с основанием $m^4$: $m^{44} = m^{4 \cdot 11} = (m^4)^{11}$.
5. Подставим $a$ вместо $m^4$: $64m^{44} = 64(m^4)^{11} = 64a^{11}$.
Ответ: $64a^{11}$

б) Найдем значение произведения $(-m^3)^6 \cdot (-m^2)^3$.
1. Упростим первый множитель $(-m^3)^6$. Поскольку показатель степени $6$ — четное число, то выражение будет положительным. Применим правило возведения степени в степень: $(-m^3)^6 = (m^3)^6 = m^{3 \cdot 6} = m^{18}$.
2. Упростим второй множитель $(-m^2)^3$. Поскольку показатель степени $3$ — нечетное число, знак минус сохраняется: $(-m^2)^3 = -(m^2)^3 = -m^{2 \cdot 3} = -m^6$.
3. Перемножим полученные упрощенные выражения: $m^{18} \cdot (-m^6) = -m^{18+6} = -m^{24}$.
4. Зная, что $m^4 = a$, выразим результат через $a$. Представим $m^{24}$ как степень с основанием $m^4$: $m^{24} = m^{4 \cdot 6} = (m^4)^6$.
5. Подставим $a$ в итоговое выражение: $-m^{24} = -(m^4)^6 = -a^6$.
Ответ: $-a^6$