Номер 9, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

18. Возведение в степень произведения. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 9, страница 80.

Условие.

9. Зная, что $4a^3b^2 = m$ при некоторых значениях $a$ и $b$, найдите, чему равно при тех же значениях $a$ и $b$ значение выражения:

а) $128a^9b^6 = $

б) $a^{12}b^8 = $

Решение.

Решение 2.

Нам дано, что при некоторых значениях $a$ и $b$ выполняется равенство $4a^3b^2 = m$. Мы будем использовать это равенство для нахождения значений заданных выражений при тех же значениях $a$ и $b$.

а) $128a^9b^6$

Чтобы найти значение выражения $128a^9b^6$, нам нужно выразить его через $m$. Для этого сравним искомое выражение с данным $4a^3b^2$.

Заметим, как соотносятся степени переменных в выражениях $a^9b^6$ и $a^3b^2$. Показатели степеней в первом выражении в 3 раза больше, чем во втором: $9 = 3 \cdot 3$ и $6 = 2 \cdot 3$. Это означает, что $a^9b^6 = (a^3)^3 (b^2)^3 = (a^3b^2)^3$.

Возведем обе части исходного равенства $4a^3b^2 = m$ в третью степень (в куб):

$(4a^3b^2)^3 = m^3$

Применяя свойства степени, получаем:

$4^3 \cdot (a^3)^3 \cdot (b^2)^3 = m^3$

$64a^9b^6 = m^3$

Мы нашли, чему равно $64a^9b^6$. Теперь выразим через это искомое выражение $128a^9b^6$.

Заметим, что коэффициент $128$ в два раза больше, чем $64$ ($128 = 2 \cdot 64$).

$128a^9b^6 = 2 \cdot (64a^9b^6)$

Теперь подставим вместо $64a^9b^6$ его эквивалент $m^3$:

$128a^9b^6 = 2 \cdot m^3 = 2m^3$

Ответ: $2m^3$

б) $a^{12}b^8$

Теперь найдем значение выражения $a^{12}b^8$. Снова сравним его с данным $4a^3b^2 = m$.

Рассмотрим степени переменных. Показатели степеней в искомом выражении ($12$ и $8$) в 4 раза больше, чем в данном ($3$ и $2$): $12 = 3 \cdot 4$ и $8 = 2 \cdot 4$.

Это означает, что $a^{12}b^8 = a^{3 \cdot 4} b^{2 \cdot 4} = (a^3)^4 (b^2)^4 = (a^3b^2)^4$.

Из исходного равенства $4a^3b^2 = m$ выразим сначала $a^3b^2$:

$a^3b^2 = \frac{m}{4}$

Теперь, когда мы знаем, чему равно $a^3b^2$, мы можем найти значение $(a^3b^2)^4$:

$a^{12}b^8 = (a^3b^2)^4 = (\frac{m}{4})^4$

Применяя свойство возведения дроби в степень, получаем:

$(\frac{m}{4})^4 = \frac{m^4}{4^4} = \frac{m^4}{256}$

Ответ: $\frac{m^4}{256}$