Номер 16, страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

18. Возведение в степень произведения. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 16, страница 82.

Условие.

16. Укажите все пары натуральных значений переменных a и n, при которых верно равенство:

а) $a^n = (2^4)^2$;

б) $a^n = (4^2)^3$.

Решение.

Решение 2.

а)

Требуется найти все пары натуральных чисел $a$ и $n$, удовлетворяющих равенству $a^n = (2^4)^2$.

Сначала упростим правую часть равенства, используя свойство степени $(x^m)^k = x^{m \cdot k}$:

$(2^4)^2 = 2^{4 \cdot 2} = 2^8$.

Таким образом, исходное уравнение принимает вид:

$a^n = 2^8$.

Поскольку $a$ и $n$ — натуральные числа, основание $a$ должно быть степенью числа 2. Представим $a$ в виде $a = 2^k$, где $k$ — натуральное число.

Подставим это в уравнение:

$(2^k)^n = 2^8$,

$2^{k \cdot n} = 2^8$.

Отсюда следует, что произведение натуральных чисел $k$ и $n$ должно быть равно 8:

$k \cdot n = 8$.

Теперь найдем все пары натуральных чисел $(k, n)$, произведение которых равно 8. Делителями числа 8 являются 1, 2, 4, 8. Рассмотрим все возможные случаи:

• Если $n=1$, то $k=8$. Тогда $a = 2^8 = 256$. Получаем пару $(a, n) = (256, 1)$.
• Если $n=2$, то $k=4$. Тогда $a = 2^4 = 16$. Получаем пару $(a, n) = (16, 2)$.
• Если $n=4$, то $k=2$. Тогда $a = 2^2 = 4$. Получаем пару $(a, n) = (4, 4)$.
• Если $n=8$, то $k=1$. Тогда $a = 2^1 = 2$. Получаем пару $(a, n) = (2, 8)$.

Таким образом, мы нашли все возможные пары натуральных значений $a$ и $n$.

Ответ: (2, 8), (4, 4), (16, 2), (256, 1).

б)

Требуется найти все пары натуральных чисел $a$ и $n$, удовлетворяющих равенству $a^n = (4^2)^3$.

Сначала упростим правую часть равенства. Представим основание 4 как степень числа 2: $4=2^2$.

$(4^2)^3 = ((2^2)^2)^3$.

Используя свойство степени $(x^m)^k = x^{m \cdot k}$, получаем:

$((2^2)^2)^3 = (2^{2 \cdot 2})^3 = (2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12}$.

Исходное уравнение принимает вид:

$a^n = 2^{12}$.

Аналогично пункту а), основание $a$ должно быть степенью числа 2. Представим $a$ в виде $a = 2^k$, где $k$ — натуральное число.

Подставим это в уравнение:

$(2^k)^n = 2^{12}$,

$2^{k \cdot n} = 2^{12}$.

Отсюда следует, что произведение натуральных чисел $k$ и $n$ должно быть равно 12:

$k \cdot n = 12$.

Теперь найдем все пары натуральных чисел $(k, n)$, произведение которых равно 12. Делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, 6, 12. Рассмотрим все возможные случаи:

• Если $n=1$, то $k=12$. Тогда $a = 2^{12} = 4096$. Получаем пару $(a, n) = (4096, 1)$.
• Если $n=2$, то $k=6$. Тогда $a = 2^6 = 64$. Получаем пару $(a, n) = (64, 2)$.
• Если $n=3$, то $k=4$. Тогда $a = 2^4 = 16$. Получаем пару $(a, n) = (16, 3)$.
• Если $n=4$, то $k=3$. Тогда $a = 2^3 = 8$. Получаем пару $(a, n) = (8, 4)$.
• Если $n=6$, то $k=2$. Тогда $a = 2^2 = 4$. Получаем пару $(a, n) = (4, 6)$.
• Если $n=12$, то $k=1$. Тогда $a = 2^1 = 2$. Получаем пару $(a, n) = (2, 12)$.

Таким образом, мы нашли все возможные пары натуральных значений $a$ и $n$.

Ответ: (2, 12), (4, 6), (8, 4), (16, 3), (64, 2), (4096, 1).