Номер 3, страница 127, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Как возвести одночлен в натуральную степень? Приведите пример.

Как возвести одночлен в натуральную степень?
Чтобы возвести одночлен в натуральную степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель, из которого состоит одночлен (числовой коэффициент и каждую переменную), а затем полученные результаты перемножить.
Это правило основывается на двух основных свойствах степеней:
1. Степень произведения равна произведению степеней множителей: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
2. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Таким образом, для одночлена вида $A = c \cdot x^k \cdot y^m$, где $c$ – числовой коэффициент, а $x, y$ – переменные в степенях $k$ и $m$, возведение в натуральную степень $n$ выполняется по формуле:
$A^n = (c \cdot x^k \cdot y^m)^n = c^n \cdot (x^k)^n \cdot (y^m)^n = c^n \cdot x^{k \cdot n} \cdot y^{m \cdot n}$.

Приведите пример.
Возведем одночлен $-3a^2b^5$ в 4-ю степень.
Запишем выражение для возведения в степень: $(-3a^2b^5)^4$.
Следуя правилу, возведем в 4-ю степень каждый множитель одночлена: числовой коэффициент $-3$, переменную $a^2$ и переменную $b^5$.
$(-3a^2b^5)^4 = (-3)^4 \cdot (a^2)^4 \cdot (b^5)^4$.
Теперь выполним вычисления для каждого множителя:
1. Возводим в степень числовой коэффициент: $(-3)^4 = 81$.
2. Возводим в степень переменную $a$: $(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$.
3. Возводим в степень переменную $b$: $(b^5)^4 = b^{5 \cdot 4} = b^{20}$.
Соединяем полученные результаты в один одночлен: $81a^8b^{20}$.
Ответ: $(-3a^2b^5)^4 = 81a^8b^{20}$.