Номер 3, страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Всегда ли задание разделить одночлен на одночлен является корректным?

Нет, задание разделить одночлен на одночлен не всегда является корректным. Чтобы операция деления была корректной и ее результатом был снова одночлен, должны выполняться определенные условия.

Рассмотрим два основных случая, когда задание может быть некорректным.

1. Деление на ноль.

Делитель (одночлен, на который делят) не может быть равен нулю. Деление на ноль — это неопределенная математическая операция. Одночлен равен нулю, если его коэффициент равен нулю.

Пример: Задание "разделить $12a^2b$ на $0x^3y$" является некорректным, так как делитель равен нулю.

2. Результат деления не является одночленом.

По определению, одночлен — это произведение чисел, переменных и их натуральных степеней. Если в результате деления получается выражение, содержащее переменную в знаменателе (или, что то же самое, переменную с отрицательной степенью), то такое выражение уже не является одночленом. Это происходит, когда:

• Степень какой-либо переменной в делителе больше, чем степень этой же переменной в делимом.
• В делителе есть переменная, которой нет в делимом.

Пример корректного деления:

Разделить $15x^4y^3z$ на $3x^2y$.

$ \frac{15x^4y^3z}{3x^2y} = (\frac{15}{3}) \cdot (x^{4-2}) \cdot (y^{3-1}) \cdot z = 5x^2y^2z $

Результат $5x^2y^2z$ является одночленом. В этом случае задание корректно.

Пример некорректного деления (результат — не одночлен):

Разделить $10a^2b^5$ на $2a^3b^2$.

$ \frac{10a^2b^5}{2a^3b^2} = (\frac{10}{2}) \cdot (a^{2-3}) \cdot (b^{5-2}) = 5a^{-1}b^3 = \frac{5b^3}{a} $

Результат $\frac{5b^3}{a}$ не является одночленом, так как содержит переменную $a$ в знаменателе. Следовательно, в рамках изучения темы "одночлены" такое задание считается некорректным, поскольку результат выходит за пределы множества одночленов.

Таким образом, задание "разделить одночлен на одночлен" корректно только тогда, когда делитель не равен нулю и все переменные, входящие в состав делителя, входят также и в состав делимого, причем степень каждой переменной в делимом не меньше ее степени в делителе.

Ответ: Нет, не всегда. Задание разделить одночлен на одночлен является корректным (и результатом будет одночлен) только в том случае, если: 1) делитель не является нулевым одночленом; 2) степень каждой переменной в делимом больше или равна степени той же переменной в делителе.