Номер 4, страница 127, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

4. Представьте одночлен $16a^4b^6$ в виде произведения двух одночленов; в виде степени одночлена.

в виде произведения двух одночленов

Чтобы представить одночлен $16a^4b^6$ в виде произведения двух других одночленов, необходимо разбить на два множителя его коэффициент (16) и каждую переменную в степени ($a^4$ и $b^6$). При умножении одночленов их коэффициенты перемножаются, а показатели степеней одинаковых переменных складываются в соответствии с правилом $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Существует множество способов это сделать.

Рассмотрим один из возможных вариантов. Разобьем:

• коэффициент $16$ на множители $2$ и $8$;
• $a^4$ на множители $a$ и $a^3$ (так как $1+3=4$);
• $b^6$ на множители $b^2$ и $b^4$ (так как $2+4=6$).

Тогда первый одночлен будет $2ab^2$, а второй $8a^3b^4$. Выполним проверку:

$(2ab^2) \cdot (8a^3b^4) = (2 \cdot 8) \cdot (a^1 \cdot a^3) \cdot (b^2 \cdot b^4) = 16 a^{1+3} b^{2+4} = 16a^4b^6$.

Другой пример: можно разбить $16$ на $4 \cdot 4$, $a^4$ на $a^2 \cdot a^2$, а $b^6$ на $b^3 \cdot b^3$. Тогда произведение будет $(4a^2b^3) \cdot (4a^2b^3)$.

Ответ: Например, $(2ab^2) \cdot (8a^3b^4)$ или $(4a^2b^3) \cdot (4a^2b^3)$.

в виде степени одночлена

Чтобы представить одночлен $16a^4b^6$ в виде степени другого одночлена, то есть в виде $(ka^xb^y)^n$, необходимо найти такой целый показатель степени $n > 1$, чтобы выполнялись равенства: $k^n = 16$, $x \cdot n = 4$ и $y \cdot n = 6$.

Из равенств для показателей степеней видно, что $n$ должно быть общим делителем чисел 4 и 6. Общими делителями являются 1 и 2. Так как требуется представить в виде степени, случай $n=1$ является тривиальным. Рассмотрим $n=2$.

Если $n=2$, то мы получаем систему уравнений:

• $k^2 = 16$
• $x \cdot 2 = 4$
• $y \cdot 2 = 6$

Решая эту систему, находим: $k=4$ или $k=-4$, $x=2$, $y=3$.

Таким образом, исходный одночлен можно представить как квадрат одночлена $4a^2b^3$ или $-4a^2b^3$.

Проверка: $(4a^2b^3)^2 = 4^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 = 16 a^{2 \cdot 2} b^{3 \cdot 2} = 16a^4b^6$.

Аналогично, $(-4a^2b^3)^2 = (-4)^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 = 16a^4b^6$.

Ответ: $(4a^2b^3)^2$ или $(-4a^2b^3)^2$.