Номер 1115, страница 283 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга - номер 1115, страница 283.

Условие.

1115 Как изменится площадь круга, если его радиус:

а) увеличить в $k$ раз;

б) уменьшить в $k$ раз?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Площадь круга ($S$) вычисляется по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ — радиус круга, а $\pi$ — математическая константа. Проанализируем, как изменится площадь при изменении радиуса.

а) Пусть первоначальный радиус круга был $R_1$, тогда его площадь была $S_1 = \pi R_1^2$. После увеличения радиуса в $k$ раз, новый радиус $R_2$ станет равен $k \cdot R_1$. Новая площадь $S_2$ будет вычисляться по той же формуле, но с новым радиусом:
$S_2 = \pi R_2^2 = \pi (k \cdot R_1)^2 = \pi \cdot k^2 \cdot R_1^2$.
Теперь сравним новую площадь $S_2$ с первоначальной $S_1$. Для этого найдём их отношение:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi \cdot k^2 \cdot R_1^2}{\pi R_1^2} = k^2$.
Это означает, что новая площадь в $k^2$ раз больше первоначальной.
Ответ: площадь увеличится в $k^2$ раз.

б) Пусть первоначальный радиус круга был $R_1$, а площадь $S_1 = \pi R_1^2$. После уменьшения радиуса в $k$ раз, новый радиус $R_2$ станет равен $\frac{R_1}{k}$. Новая площадь $S_2$ будет равна:
$S_2 = \pi R_2^2 = \pi \left(\frac{R_1}{k}\right)^2 = \pi \frac{R_1^2}{k^2} = \frac{1}{k^2} (\pi R_1^2)$.
Сравним новую площадь $S_2$ с первоначальной $S_1$, найдя их отношение:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{1}{k^2}(\pi R_1^2)}{\pi R_1^2} = \frac{1}{k^2}$.
Это означает, что новая площадь составляет $\frac{1}{k^2}$ от первоначальной, то есть она уменьшилась в $k^2$ раз.
Ответ: площадь уменьшится в $k^2$ раз.