Номер 1117, страница 283 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга - номер 1117, страница 283.

Условие.

1117 □ Найдите площадь круга, вписанного:

а) в равносторонний треугольник со стороной $a$;

б) в прямоугольный треугольник с катетом $a$ и прилежащим к нему острым углом $\alpha$;

в) в равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$, противолежащим основанию;

г) в равнобедренную трапецию с большим основанием $a$ и острым углом $\alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{кр} = \pi r^2$, где $r$ — радиус вписанного круга. Для нахождения радиуса воспользуемся формулой $r = \frac{S_{\triangle}}{p}$, где $S_{\triangle}$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ периметр $P = 3a$, а полупериметр $p = \frac{3a}{2}$.

2. Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле $S_{\triangle} = \frac{1}{2} a^2 \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} a^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

3. Теперь найдем радиус вписанного круга:

$r = \frac{S_{\triangle}}{p} = \frac{a^2\sqrt{3}/4}{3a/2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{3a} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{12a} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

4. Наконец, вычислим площадь круга:

$S_{кр} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 = \pi \frac{3a^2}{36} = \frac{\pi a^2}{12}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{12}$.

б)

Дан прямоугольный треугольник с катетом $a$ и прилежащим к нему острым углом $\alpha$.

1. Обозначим стороны треугольника. Пусть катет $AC=a$, а прилежащий угол $\angle A = \alpha$. Тогда второй катет $BC = a \tan \alpha$, а гипотенуза $AB = \frac{a}{\cos \alpha}$.

2. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле $r = \frac{\text{сумма катетов} - \text{гипотенуза}}{2}$.

$r = \frac{a + a \tan \alpha - \frac{a}{\cos \alpha}}{2} = \frac{a}{2} \left(1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{1}{\cos \alpha}\right) = \frac{a}{2} \frac{\cos \alpha + \sin \alpha - 1}{\cos \alpha}$.

3. Упростим выражение для радиуса, используя формулы половинного угла: $\sin \alpha = 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$ и $1 - \cos \alpha = 2\sin^2(\alpha/2)$.

$r = \frac{a}{2} \frac{(\sin \alpha) - (1 - \cos \alpha)}{\cos \alpha} = \frac{a}{2} \frac{2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2) - 2\sin^2(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)}$

$r = \frac{a \cdot 2\sin(\alpha/2)(\cos(\alpha/2) - \sin(\alpha/2))}{2(\cos(\alpha/2) - \sin(\alpha/2))(\cos(\alpha/2) + \sin(\alpha/2))} = \frac{a \sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2) + \sin(\alpha/2)}$.

Разделив числитель и знаменатель на $\cos(\alpha/2)$, получим более удобную форму: $r = \frac{a \tan(\alpha/2)}{1 + \tan(\alpha/2)}$.

4. Площадь вписанного круга равна:

$S_{кр} = \pi r^2 = \pi \left( \frac{a \tan(\alpha/2)}{1 + \tan(\alpha/2)} \right)^2 = \frac{\pi a^2 \tan^2(\alpha/2)}{(1 + \tan(\alpha/2))^2}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2 \tan^2(\alpha/2)}{(1 + \tan(\alpha/2))^2}$.

в)

Дан равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ при вершине, противолежащим основанию.

1. Углы при основании равны $\frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Основание $b$ найдем по теореме синусов: $\frac{b}{\sin \alpha} = \frac{a}{\sin(90^\circ - \alpha/2)} \implies b = \frac{a\sin\alpha}{\cos(\alpha/2)} = \frac{a \cdot 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = 2a\sin(\alpha/2)$.

2. Полупериметр треугольника: $p = \frac{a+a+2a\sin(\alpha/2)}{2} = a(1+\sin(\alpha/2))$.

3. Площадь треугольника: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} a \cdot a \sin \alpha = \frac{a^2}{2} \sin \alpha$.

4. Радиус вписанного круга $r = \frac{S_{\triangle}}{p}$:

$r = \frac{\frac{a^2}{2} \sin \alpha}{a(1+\sin(\alpha/2))} = \frac{a \sin \alpha}{2(1+\sin(\alpha/2))}$.

Используя формулу $\sin \alpha = 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$, упростим выражение:

$r = \frac{a \cdot 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}{2(1+\sin(\alpha/2))} = \frac{a \sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}{1+\sin(\alpha/2)}$.

5. Площадь вписанного круга:

$S_{кр} = \pi r^2 = \pi \left( \frac{a \sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}{1+\sin(\alpha/2)} \right)^2 = \frac{\pi a^2 \sin^2(\alpha/2)\cos^2(\alpha/2)}{(1+\sin(\alpha/2))^2}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2 \sin^2(\alpha/2)\cos^2(\alpha/2)}{(1+\sin(\alpha/2))^2}$.

г)

Дана равнобедренная трапеция с большим основанием $a$ и острым углом $\alpha$. В трапецию можно вписать круг.

1. Условие, при котором в трапецию можно вписать круг: сумма оснований равна сумме боковых сторон. Пусть основания равны $a$ и $b$, а боковые стороны $c$. Тогда $a+b=2c$.

2. Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанного круга, т.е. $h=2r$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $c$, высотой $h$ и отрезком $\frac{a-b}{2}$ на большем основании. Из этого треугольника имеем: $h = c \sin \alpha$ и $\frac{a-b}{2} = c \cos \alpha$.

4. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} a+b = 2c \\ a-b = 2c \cos \alpha \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получим $2a = 2c + 2c \cos \alpha = 2c(1+\cos \alpha)$, откуда $a = c(1+\cos \alpha)$.

Выразим боковую сторону: $c = \frac{a}{1+\cos \alpha}$.

5. Найдем радиус вписанного круга. Так как $h=2r$ и $h = c \sin \alpha$:

$2r = c \sin \alpha = \frac{a}{1+\cos \alpha} \sin \alpha \implies r = \frac{a \sin \alpha}{2(1+\cos \alpha)}$.

Упростим, используя формулы половинного угла $\sin \alpha = 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$ и $1+\cos \alpha = 2\cos^2(\alpha/2)$:

$r = \frac{a \cdot 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}{2 \cdot 2\cos^2(\alpha/2)} = \frac{a \sin(\alpha/2)}{2\cos(\alpha/2)} = \frac{a}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})$.

6. Площадь вписанного круга:

$S_{кр} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4} \tan^2(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{4} \tan^2(\frac{\alpha}{2})$.