Номер 1116, страница 283 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга - номер 1116, страница 283.

Условие.

1116 ☐ Найдите площадь круга, описанного около:

а) прямоугольника со сторонами $a$ и $b$;

б) прямоугольного треугольника с катетом $a$ и противолежащим углом $\alpha$;

в) равнобедренного треугольника с основанием $a$ и высотой $h$, проведённой к основанию.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ – радиус круга. Для прямоугольника, вписанного в окружность, диаметр окружности равен диагонали прямоугольника. По теореме Пифагора, квадрат диагонали $d$ прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ равен $d^2 = a^2 + b^2$. Таким образом, диаметр $d = \sqrt{a^2 + b^2}$. Радиус описанной окружности $R$ равен половине диаметра: $R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$. Подставим радиус в формулу площади круга: $S = \pi \left(\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\right)^2 = \pi \frac{a^2 + b^2}{4}$.
Ответ: $S = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{4}$.

б) Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы, а радиус $R$ равен половине гипотенузы. Пусть дан катет $a$ и противолежащий ему угол $\alpha$. Гипотенузу $c$ можно найти из определения синуса: $\sin \alpha = \frac{a}{c}$, откуда $c = \frac{a}{\sin \alpha}$. Тогда радиус описанной окружности $R = \frac{c}{2} = \frac{a}{2 \sin \alpha}$. Площадь круга $S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a}{2 \sin \alpha}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4 \sin^2 \alpha}$.
Ответ: $S = \frac{\pi a^2}{4 \sin^2 \alpha}$.

в) Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности около равнобедренного треугольника воспользуемся формулой $R = \frac{xyz}{4K}$, где $x, y, z$ – стороны треугольника, а $K$ – его площадь. В нашем случае основание равно $a$, высота к нему $h$. Площадь треугольника $K = \frac{1}{2}ah$. Боковую сторону $b$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной основания и боковой стороной: $b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 = h^2 + \frac{a^2}{4}$. Таким образом, стороны треугольника равны $a$, $b$, $b$. Подставим значения в формулу для радиуса: $R = \frac{a \cdot b \cdot b}{4 K} = \frac{a b^2}{4 \cdot \frac{1}{2}ah} = \frac{b^2}{2h}$. Заменим $b^2$: $R = \frac{h^2 + \frac{a^2}{4}}{2h} = \frac{4h^2 + a^2}{8h}$. Теперь найдем площадь круга: $S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a^2 + 4h^2}{8h}\right)^2 = \frac{\pi (a^2 + 4h^2)^2}{64h^2}$.
Ответ: $S = \frac{\pi (a^2 + 4h^2)^2}{64h^2}$.