Номер 39.10, страница 310 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 39. Частота и вероятность случайного события - номер 39.10, страница 310.

Условие.

39.10. Числа $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - (2a - 3)x + a^2 - 3 = 0$. Найдите значения $a$, при которых выполняется равенство $2x_1 + 2x_2 = x_1x_2$.

Решение.

Дано квадратное уравнение $x^2 - (2a - 3)x + a^2 - 3 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Необходимо найти значения параметра $a$, при которых выполняется равенство $2x_1 + 2x_2 = x_1x_2$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В заданном уравнении $x^2 - (2a - 3)x + a^2 - 3 = 0$ коэффициенты равны:
$p = -(2a - 3)$
$q = a^2 - 3$

Следовательно, по теореме Виета, сумма и произведение корней выражаются через параметр $a$ следующим образом:
$x_1 + x_2 = -(-(2a - 3)) = 2a - 3$
$x_1 \cdot x_2 = a^2 - 3$

Теперь подставим эти выражения в заданное по условию равенство $2x_1 + 2x_2 = x_1x_2$.
Вынесем 2 за скобки в левой части: $2(x_1 + x_2) = x_1x_2$.
Подставляем выражения для суммы и произведения корней, полученные по теореме Виета:
$2(2a - 3) = a^2 - 3$

Решим полученное уравнение относительно $a$:
$4a - 6 = a^2 - 3$
$a^2 - 4a - 3 + 6 = 0$
$a^2 - 4a + 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $a$. Найдем его корни, например, разложив на множители:
$(a - 1)(a - 3) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $a$: $a_1 = 1$ и $a_2 = 3$.

Важным условием является существование действительных корней $x_1$ и $x_2$ у исходного уравнения. Это условие выполняется, если дискриминант $D$ уравнения неотрицателен ($D \ge 0$).
Найдем дискриминант исходного уравнения $x^2 - (2a - 3)x + a^2 - 3 = 0$:
$D = b^2 - 4ac = (-(2a - 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 3)$
$D = (2a - 3)^2 - 4(a^2 - 3)$
$D = (4a^2 - 12a + 9) - (4a^2 - 12)$
$D = 4a^2 - 12a + 9 - 4a^2 + 12$
$D = -12a + 21$

Теперь решим неравенство $D \ge 0$:
$-12a + 21 \ge 0$
$21 \ge 12a$
$a \le \frac{21}{12}$
$a \le \frac{7}{4}$
$a \le 1.75$

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения $a_1=1$ и $a_2=3$ этому условию.
1. Для $a = 1$: неравенство $1 \le 1.75$ является верным. Следовательно, это значение подходит.
2. Для $a = 3$: неравенство $3 \le 1.75$ является неверным. Следовательно, это значение не подходит, так как при $a=3$ исходное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственное значение параметра, удовлетворяющее всем условиям задачи, это $a=1$.

Ответ: $1$.