Номер 39.8, страница 310 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 39. Частота и вероятность случайного события - номер 39.8, страница 310.

Условие.

39.8. Вероятность попадания в мишень составляет 85 %. Может ли быть так, что в серии из 100 выстрелов было 98 попаданий в мишень?

Решение.

Да, такая ситуация возможна, хотя и является маловероятной.

Вероятность попадания 85% ($p = 0.85$) — это теоретическая величина. Она означает, что при очень большом количестве выстрелов, в среднем, 85 из 100 будут удачными. Однако в каждой конкретной, конечной серии из 100 выстрелов результат может отклоняться от этого среднего значения из-за фактора случайности.

Наиболее вероятное число попаданий (математическое ожидание) в серии из 100 выстрелов составляет $100 \cdot 0.85 = 85$. Но это не означает, что другие исходы, включая 98 попаданий, невозможны.

Чтобы определить, возможно ли событие "98 попаданий из 100", нужно проверить, является ли его вероятность ненулевой. Вероятность получить ровно $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях (выстрелах) можно рассчитать по формуле Бернулли:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

В нашем случае:
- число испытаний $n = 100$;
- число успехов (попаданий) $k = 98$;
- вероятность успеха $p = 0.85$;
- вероятность неудачи $q = 1 - p = 0.15$.

Вероятность нашего события равна:
$P_{100}(98) = C_{100}^{98} \cdot (0.85)^{98} \cdot (0.15)^{100-98} = C_{100}^{98} \cdot (0.85)^{98} \cdot (0.15)^2$

Нам не нужно вычислять точное значение. Достаточно убедиться, что оно больше нуля. Все компоненты формулы являются положительными числами:
- Биномиальный коэффициент $C_{100}^{98} = \frac{100!}{98! \cdot 2!} = \frac{100 \cdot 99}{2} = 4950 > 0$.
- Вероятность в степени $(0.85)^{98} > 0$.
- Вероятность в степени $(0.15)^2 > 0$.

Произведение положительных чисел всегда положительно, следовательно, $P_{100}(98) > 0$. Поскольку вероятность этого события не равна нулю, оно является возможным.

Ответ: Да, может.