Номер 39.11, страница 310 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 39. Частота и вероятность случайного события - номер 39.11, страница 310.

Условие.

39.11. Найдите остаток от деления числа $4^{104}$ на число 11.

Решение.

39.11.

Чтобы найти остаток от деления числа $4^{104}$ на 11, мы будем использовать сравнения по модулю 11. Задача сводится к нахождению значения выражения $4^{104} \pmod{11}$.

Поскольку 11 — это простое число, а основание степени 4 не делится на 11, мы можем применить малую теорему Ферма. Теорема гласит, что если $p$ — простое число, то для любого целого числа $a$, не делящегося на $p$, выполняется сравнение $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

В нашем случае $a = 4$ и $p = 11$. Применяя теорему, получаем:
$4^{11-1} \equiv 4^{10} \equiv 1 \pmod{11}$.

Теперь мы можем упростить исходное выражение, используя тот факт, что $4^{10}$ дает остаток 1 при делении на 11. Для этого представим показатель степени 104 через 10. Разделим 104 на 10 с остатком:
$104 = 10 \cdot 10 + 4$.

Теперь подставим это в исходное выражение для степени:
$4^{104} = 4^{10 \cdot 10 + 4} = (4^{10})^{10} \cdot 4^4$.

Теперь найдем остаток от деления этого выражения на 11, используя свойства сравнений:
$4^{104} \pmod{11} \equiv ((4^{10})^{10} \cdot 4^4) \pmod{11}$.

Так как мы уже знаем, что $4^{10} \equiv 1 \pmod{11}$, мы можем заменить $4^{10}$ на 1 в этом выражении:
$(1^{10} \cdot 4^4) \pmod{11} \equiv (1 \cdot 4^4) \pmod{11} \equiv 4^4 \pmod{11}$.

Осталось вычислить $4^4 \pmod{11}$. Сделаем это пошагово:
Сначала найдем $4^2$: $4^2 = 16$. При делении на 11, 16 дает остаток 5. Таким образом, $16 \equiv 5 \pmod{11}$.
Теперь найдем $4^4$: $4^4 = (4^2)^2 \equiv 5^2 \pmod{11}$.
Вычислим $5^2 = 25$. При делении 25 на 11 получаем $25 = 2 \cdot 11 + 3$. Остаток равен 3.
Таким образом, $25 \equiv 3 \pmod{11}$.

Мы получили, что $4^{104} \equiv 3 \pmod{11}$. Это означает, что остаток от деления числа $4^{104}$ на 11 равен 3.

Ответ: 3