Номер 4, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а) $\frac{a^2 - 11}{a - \sqrt{11}}$
Представим число $11$ как $(\sqrt{11})^2$ и применим в числителе формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$$\frac{a^2 - 11}{a - \sqrt{11}} = \frac{a^2 - (\sqrt{11})^2}{a - \sqrt{11}} = \frac{(a - \sqrt{11})(a + \sqrt{11})}{a - \sqrt{11}} = a + \sqrt{11}$$ Ответ: $a + \sqrt{11}$

б) $\frac{3 - \sqrt{x}}{x - 9}$
Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов, представив $x$ как $(\sqrt{x})^2$, а $9$ как $3^2$. В числителе вынесем знак минус за скобки, чтобы получить одинаковое выражение для сокращения:
$$\frac{3 - \sqrt{x}}{x - 9} = \frac{-(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x})^2 - 3^2} = \frac{-(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} = -\frac{1}{\sqrt{x} + 3}$$ Ответ: $-\frac{1}{\sqrt{x} + 3}$

в) $\frac{3\sqrt{a} - 5\sqrt{b}}{9a - 25b}$
Представим знаменатель в виде разности квадратов, так как $9a = (3\sqrt{a})^2$ и $25b = (5\sqrt{b})^2$ при $a \ge 0, b \ge 0$:
$$\frac{3\sqrt{a} - 5\sqrt{b}}{9a - 25b} = \frac{3\sqrt{a} - 5\sqrt{b}}{(3\sqrt{a})^2 - (5\sqrt{b})^2} = \frac{3\sqrt{a} - 5\sqrt{b}}{(3\sqrt{a} - 5\sqrt{b})(3\sqrt{a} + 5\sqrt{b})} = \frac{1}{3\sqrt{a} + 5\sqrt{b}}$$ Ответ: $\frac{1}{3\sqrt{a} + 5\sqrt{b}}$

г) $\frac{14 + \sqrt{7}}{\sqrt{7}}$
Представим число $14$ как $2 \cdot 7 = 2 \cdot (\sqrt{7})^2$ и вынесем общий множитель $\sqrt{7}$ за скобки в числителе:
$$\frac{14 + \sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{2 \cdot (\sqrt{7})^2 + \sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}(2\sqrt{7} + 1)}{\sqrt{7}} = 2\sqrt{7} + 1$$ Ответ: $2\sqrt{7} + 1$