Номер 4, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а) $\frac{x^2 - 3}{x + \sqrt{3}}$
Решение:
Представим число $3$ в числителе как $(\sqrt{3})^2$ и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$$x^2 - 3 = x^2 - (\sqrt{3})^2 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$$ Подставим разложение в дробь и сократим на общий множитель $(x + \sqrt{3})$:
$$\frac{x^2 - 3}{x + \sqrt{3}} = \frac{(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})}{x + \sqrt{3}} = x - \sqrt{3}$$ Ответ: $x - \sqrt{3}$

б) $\frac{\sqrt{p} - 6}{p - 36}$
Решение:
Разложим знаменатель дроби по формуле разности квадратов, представив $p$ как $(\sqrt{p})^2$, а $36$ как $6^2$ (при $p \ge 0$):
$$p - 36 = (\sqrt{p})^2 - 6^2 = (\sqrt{p} - 6)(\sqrt{p} + 6)$$ Сократим дробь на выражение $(\sqrt{p} - 6)$:
$$\frac{\sqrt{p} - 6}{p - 36} = \frac{\sqrt{p} - 6}{(\sqrt{p} - 6)(\sqrt{p} + 6)} = \frac{1}{\sqrt{p} + 6}$$ Ответ: $\frac{1}{\sqrt{p} + 6}$

в) $\frac{2\sqrt{x} - 7\sqrt{y}}{49y - 4x}$
Решение:
Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов:
$$49y - 4x = (7\sqrt{y})^2 - (2\sqrt{x})^2 = (7\sqrt{y} - 2\sqrt{x})(7\sqrt{y} + 2\sqrt{x})$$ В числителе вынесем знак «минус» за скобки, чтобы получить одинаковое выражение с одной из скобок знаменателя:
$$2\sqrt{x} - 7\sqrt{y} = -(7\sqrt{y} - 2\sqrt{x})$$ Подставим полученные выражения в дробь и сократим на $(7\sqrt{y} - 2\sqrt{x})$:
$$\frac{2\sqrt{x} - 7\sqrt{y}}{49y - 4x} = \frac{-(7\sqrt{y} - 2\sqrt{x})}{(7\sqrt{y} - 2\sqrt{x})(7\sqrt{y} + 2\sqrt{x})} = -\frac{1}{7\sqrt{y} + 2\sqrt{x}}$$ Ответ: $-\frac{1}{2\sqrt{x} + 7\sqrt{y}}$

г) $\frac{18 - \sqrt{6}}{\sqrt{6}}$
Решение:
Выполним почленное деление числителя на знаменатель:
$$\frac{18 - \sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{18}{\sqrt{6}} - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$$ Избавимся от иррациональности в знаменателе первой дроби, умножив её числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$, а вторую дробь сократим:
$$\frac{18\sqrt{6}}{(\sqrt{6})^2} - 1 = \frac{18\sqrt{6}}{6} - 1 = 3\sqrt{6} - 1$$ Ответ: $3\sqrt{6} - 1$