номер 2, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

2.Дано:

Треугольник прямоугольный;
$a, b$ — катеты прямоугольного треугольника;
$a + b = 17\text{ см}$;
$S = 30\text{ см}^2$.

Найти: катеты $a$ и $b$.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле половины произведения его катетов:

$$S = \frac{1}{2}ab$$

Подставим известное значение площади в формулу:

$$\frac{1}{2}ab = 30$$

$$ab = 60$$

Составим систему уравнений на основе условия задачи:

$$\begin{cases} a + b = 17 \\ ab = 60 \end{cases}$$

Выразим переменную $b$ через $a$ из первого уравнения:

$$b = 17 - a$$

Подставим полученное выражение во второе уравнение:

$$a(17 - a) = 60$$

$$17a - a^2 = 60$$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и запишем квадратное уравнение в стандартном виде:

$$a^2 - 17a + 60 = 0$$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант ($D$):

$$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49 = 7^2$$

Найдем корни уравнения:

$$a_1 = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12$$

$$a_2 = \frac{17 - 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Найдем соответствующие значения второго катета $b$:

Если $a = 12$, то $b = 17 - 12 = 5\text{ см}$.
Если $a = 5$, то $b = 17 - 5 = 12\text{ см}$.

Оба корня являются положительными числами и удовлетворяют смыслу геометрической задачи. Таким образом, катеты треугольника равны $5\text{ см}$ и $12\text{ см}$.

Ответ: $5\text{ см}$ и $12\text{ см}$.