номер 2, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а)$x^2 + 3x - 18 = 0$

Решение:
Уравнение приведенное, коэффициенты: $a = 1$, $b = 3$, $c = -18$.
Найдем дискриминант уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 = 9^2$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$$x_1 = \frac{-3 + 9}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-3 - 9}{2 \cdot 1} = \frac{-12}{2} = -6$$

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
Числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, если их сумма равна $-p$, а произведение равно $q$. В данном уравнении $p = 3$, а $q = -18$.
$x_1 + x_2 = 3 + (-6) = -3 = -p$;
$x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-6) = -18 = q$.
Условия выполняются, следовательно, корни найдены верно.

Ответ: $x_1 = 3$; $x_2 = -6$.

б)$2x^2 - 13x - 7 = 0$

Решение:
Коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = -13$, $c = -7$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2$.
Так как $D > 0$, найдем корни уравнения:
$$x_1 = \frac{-(-13) + 15}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 15}{4} = \frac{28}{4} = 7$$ $$x_2 = \frac{-(-13) - 15}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 15}{4} = \frac{-2}{4} = -0{,}5$$

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ должны выполняться соотношения:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-13}{2} = 6{,}5$;
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-7}{2} = -3{,}5$.
Подставим найденные значения корней:
$x_1 + x_2 = 7 + (-0{,}5) = 6{,}5 = -\frac{b}{a}$;
$x_1 \cdot x_2 = 7 \cdot (-0{,}5) = -3{,}5 = \frac{c}{a}$.
Условия выполняются, значит, корни определены правильно.

Ответ: $x_1 = 7$; $x_2 = -0{,}5$.