Номер 3, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Для нахождения корней приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ подбором воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета. Согласно ей, числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения, если одновременно выполняются условия:
$$x_1 + x_2 = -p$$ $$x_1 \cdot x_2 = q$$

а)$x^2 - 10x + 24 = 0$

Здесь коэффициенты: $p = -10$, $q = 24$. Составим систему условий:

$$\begin{cases} x_1 + x_2 = 10 \\ x_1 \cdot x_2 = 24 \end{cases}$$

Так как произведение $24 > 0$, а сумма $10 > 0$, оба корня должны быть положительными числами. Переберём пары целых положительных множителей числа $24$:

• $1$ и $24$: $1 + 24 = 25 \neq 10$
• $2$ и $12$: $2 + 12 = 14 \neq 10$
• $3$ и $8$: $3 + 8 = 11 \neq 10$
• $4$ и $6$: $4 + 6 = 10$ — подходит!

Ответ: $x_1 = 4$, $x_2 = 6$.

б)$x^2 - 3x + 40 = 0$

Здесь коэффициенты: $p = -3$, $q = 40$. По теореме Виета:

$$\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = 40 \end{cases}$$

Поскольку произведение $40 > 0$, а сумма $3 > 0$, оба числа должны быть положительными. Переберём пары натуральных делителей числа $40$:

• $1$ и $40$: $1 + 40 = 41 \neq 3$
• $2$ и $20$: $2 + 20 = 22 \neq 3$
• $4$ и $10$: $4 + 10 = 14 \neq 3$
• $5$ и $8$: $5 + 8 = 13 \neq 3$

Ни одна пара множителей не даёт в сумме $3$. Проверим дискриминант уравнения:
$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 9 - 160 = -151$$
Так как $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Примечание: Если в условии задачи опечатка и уравнение должно иметь вид $x^2 - 3x - 40 = 0$, то:
$$\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -40 \end{cases}$$
В этом случае подбором легко находятся корни с разными знаками: $x_1 = 8$ и $x_2 = -5$ (так как $8 \cdot (-5) = -40$ и $8 + (-5) = 3$).

Ответ: корней нет (при исходной записи $x^2 - 3x + 40 = 0$).