Номер 2, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

2.Дано:

• треугольник — прямоугольный;
• $a$, $b$ — катеты;
• $a + b = 13\text{ дм}$;
• $S = 20\text{ дм}^2$.

Найти: $a$, $b$.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$$S = \frac{1}{2}ab$$

Подставим известное значение площади в формулу:

$$\frac{1}{2}ab = 20$$

$$ab = 40$$

Составим систему уравнений на основе условий задачи:

$$\begin{cases} a + b = 13 \\ ab = 40 \end{cases}$$

Выразим переменную $b$ через $a$ из первого уравнения:

$$b = 13 - a$$

Подставим полученное выражение во второе уравнение:

$$a(13 - a) = 40$$

$$13a - a^2 = 40$$

$$a^2 - 13a + 40 = 0$$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант ($D$):

$$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9 = 3^2$$

Найдем корни уравнения:

$$a_1 = \frac{-(-13) + 3}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 3}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

$$a_2 = \frac{-(-13) - 3}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Оба значения положительные, значит, удовлетворяют геометрическому смыслу задачи:

• Если первый катет $a = 8\text{ дм}$, то второй катет $b = 13 - 8 = 5\text{ дм}$.
• Если первый катет $a = 5\text{ дм}$, то второй катет $b = 13 - 5 = 8\text{ дм}$.

Таким образом, длины катетов равны $5\text{ дм}$ и $8\text{ дм}$.

Ответ: $5\text{ дм}$ и $8\text{ дм}$.