Номер 1, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ воспользуемся теоремой Виета. Если квадратное уравнение имеет корни ($D \ge 0$), то их сумма и произведение выражаются через коэффициенты уравнения формулами:
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

а)$x^2 + 62x - 54 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = 62$, $c = -54$.
Так как свободный член $c < 0$, дискриминант заведомо положителен ($D > 0$), следовательно, уравнение имеет два различных действительных корня.
По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения ($a = 1$):
$x_1 + x_2 = -b = -62$
$x_1 \cdot x_2 = c = -54$

Ответ: сумма корней равна $-62$, произведение корней равно $-54$.

б)$3x^2 - 27x + 11 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = -27$, $c = 11$.
Проверим наличие корней через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11 = 729 - 132 = 597 > 0$ (корни существуют).
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-27}{3} = 9$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}$

Ответ: сумма корней равна $9$, произведение корней равно $\frac{11}{3}$ (или $3\frac{2}{3}$).

в)$x^2 + 47x = 0$

Это неполное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a = 1$, $b = 47$, $c = 0$.
Уравнение имеет корни (вынося общий множитель: $x(x + 47) = 0 \implies x_1 = 0$, $x_2 = -47$).
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -47$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{0}{1} = 0$

Ответ: сумма корней равна $-47$, произведение корней равно $0$.

г)$5x^2 - 36 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a = 5$, $b = 0$, $c = -36$.
Так как $5x^2 = 36 \implies x^2 = \frac{36}{5} > 0$, уравнение имеет два противоположных корня.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{0}{5} = 0$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{36}{5} = -7{,}2$

Ответ: сумма корней равна $0$, произведение корней равно $-7{,}2$ (или $-7\frac{1}{5}$).