Номер 3, страница 71 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку: сначала сложение дробей в скобках, затем деление.

1.Сложение дробей в скобках:

$$\frac{a + 2}{a - 2} + \frac{a - 2}{a + 2}$$

Приведём дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение $(a - 2)(a + 2) = a^2 - 4$.

Дополнительный множитель для первой дроби равен $(a + 2)$, а для второй — $(a - 2)$:

$$\frac{(a + 2)(a + 2) + (a - 2)(a - 2)}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{(a + 2)^2 + (a - 2)^2}{a^2 - 4}$$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы сокращённого умножения (квадрат суммы и квадрат разности):

$$(a + 2)^2 = a^2 + 4a + 4$$

$$(a - 2)^2 = a^2 - 4a + 4$$

Сложим полученные многочлены и приведём подобные слагаемые:

$$\frac{a^2 + 4a + 4 + a^2 - 4a + 4}{a^2 - 4} = \frac{2a^2 + 8}{a^2 - 4} = \frac{2(a^2 + 4)}{a^2 - 4}$$

2.Деление на вторую дробь:

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$$\frac{2(a^2 + 4)}{a^2 - 4} : \frac{16a}{a^2 - 4} = \frac{2(a^2 + 4)}{a^2 - 4} \cdot \frac{a^2 - 4}{16a}$$

Запишем под одну общую дробную черту и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$$\frac{2(a^2 + 4) \cdot (a^2 - 4)}{(a^2 - 4) \cdot 16a}$$

Сократим выражение на $(a^2 - 4)$, а также числа $2$ и $16$ разделим на $2$:

$$= \frac{a^2 + 4}{8a}$$

Ответ: $\dfrac{a^2 + 4}{8a}$