номер 4, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Квадратный корень имеет смысл только в том случае, если выражение, стоящее под знаком корня, неотрицательно (то есть больше или равно нулю).

а) $\sqrt{5x - 2}$

Решение:
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$5x - 2 \ge 0$$ Перенесём свободный член в правую часть неравенства:
$$5x \ge 2$$ Разделим обе части на $5$:
$$x \ge \frac{2}{5} \quad (x \ge 0{,}4)$$

Ответ: выражение имеет смысл при $x \ge 0{,}4$ (или $x \in [0{,}4; +\infty)$).

б) $\sqrt{3x + 1} + \sqrt{6 - x}$

Решение:
Данное выражение представляет собой сумму двух квадратных корней. Оно имеет смысл тогда и только тогда, когда каждое из подкоренных выражений одновременно неотрицательно. Составим и решим систему неравенств:
$$\begin{cases} 3x + 1 \ge 0 \\ 6 - x \ge 0 \end{cases}$$ Решим каждое неравенство по отдельности:

• $3x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{3}$
• $-x \ge -6 \implies x \le 6$ (при делении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный)

Объединяя оба условия, получаем двойное неравенство:
$$-\frac{1}{3} \le x \le 6$$

Ответ: выражение имеет смысл при $-\frac{1}{3} \le x \le 6$ (или $x \in \left[-\frac{1}{3}; 6\right]$).