Номер 4, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Квадратный корень имеет смысл только тогда, когда выражение, стоящее под знаком корня, больше или равно нулю (является неотрицательным).

а) $\sqrt{3x - 4}$

Решение:
Подкоренное выражение должно удовлетворять условию: $$3x - 4 \ge 0$$ Перенесём слагаемое $-4$ в правую часть с противоположным знаком: $$3x \ge 4$$ Разделим обе части неравенства на $3$: $$x \ge \frac{4}{3}$$ Выделим целую часть: $$x \ge 1\frac{1}{3}$$

Ответ: при $x \ge 1\frac{1}{3}$ (или $x \in \left[1\frac{1}{3}; +\infty\right)$).

б) $\sqrt{4 - x} - \sqrt{2x + 1}$

Решение:
В выражении присутствуют два квадратных корня. Чтобы всё выражение имело смысл, оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными одновременно. Составим и решим систему неравенств: $$\begin{cases} 4 - x \ge 0 \\ 2x + 1 \ge 0 \end{cases}$$ Решим каждое неравенство отдельно: 1) Из первого неравенства: $$-x \ge -4$$ Умножим (или разделим) на $-1$, меняя знак неравенства на противоположный: $$x \le 4$$ 2) Из второго неравенства: $$2x \ge -1$$ Разделим на $2$: $$x \ge -0{,}5$$ Объединим оба условия: $$\begin{cases} x \le 4 \\ x \ge -0{,}5 \end{cases} \implies -0{,}5 \le x \le 4$$

Ответ: при $-0{,}5 \le x \le 4$ (или $x \in [-0{,}5; 4]$).