Номер 6.58, страница 34 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Тепловые явления. 6. Плавление и кристаллизация - номер 6.58, страница 34.

Условие.

6.58. Нагретый алюминиевый куб положили на лед, и куб полностью погрузился в лед. До какой температуры был нагрет куб? Температура льда $0 °C$, потерями тепла можно пренебречь.

Решение.

Дано:

$t_к = 0$ °C (конечная температура системы, температура плавления льда)
$t_л = 0$ °C (начальная температура льда)
Материал куба: алюминий
Справочные данные:
Удельная теплоемкость алюминия, $c_{Al} = 920 \frac{Дж}{кг \cdot °С}$
Плотность алюминия, $\rho_{Al} = 2700 \frac{кг}{м^3}$
Удельная теплота плавления льда, $\lambda = 3.3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$
Плотность льда, $\rho_{л} = 900 \frac{кг}{м^3}$

Найти:

$t_{н}$ - начальная температура куба.

Решение:

Согласно условию задачи, потерями тепла в окружающую среду можно пренебречь. Это означает, что вся теплота, отданная нагретым алюминиевым кубом при остывании, пошла на плавление льда. Запишем уравнение теплового баланса:

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

Количество теплоты $Q_{отданное}$, которое отдал куб, остывая от начальной температуры $t_н$ до конечной температуры $t_к = 0$ °C, определяется формулой:

$Q_{отданное} = c_{Al} \cdot m_{Al} \cdot (t_н - t_к)$

Массу алюминиевого куба $m_{Al}$ можно выразить через его плотность $\rho_{Al}$ и объем $\text{V}$:

$m_{Al} = \rho_{Al} \cdot V$

Следовательно, $Q_{отданное} = c_{Al} \cdot \rho_{Al} \cdot V \cdot (t_н - t_к)$.

Количество теплоты $Q_{полученное}$, необходимое для плавления льда, который уже находится при температуре плавления ($t_л = 0$ °C), рассчитывается по формуле:

$Q_{полученное} = \lambda \cdot m_л$

где $m_л$ — масса расплавленного льда. По условию, куб полностью погрузился в лед. Это означает, что он растопил объем льда, равный своему собственному объему $\text{V}$. Таким образом, массу расплавленного льда можно выразить через плотность льда $\rho_л$ и объем $\text{V}$:

$m_л = \rho_л \cdot V$

Тогда $Q_{полученное} = \lambda \cdot \rho_л \cdot V$.

Теперь приравняем отданное и полученное количество теплоты:

$c_{Al} \cdot \rho_{Al} \cdot V \cdot (t_н - t_к) = \lambda \cdot \rho_л \cdot V$

Объем куба $\text{V}$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому его можно сократить:

$c_{Al} \cdot \rho_{Al} \cdot (t_н - t_к) = \lambda \cdot \rho_л$

Выразим из этого уравнения искомую начальную температуру куба $t_н$:

$t_н - t_к = \frac{\lambda \cdot \rho_л}{c_{Al} \cdot \rho_{Al}}$

$t_н = \frac{\lambda \cdot \rho_л}{c_{Al} \cdot \rho_{Al}} + t_к$

Подставим числовые значения в полученную формулу, учитывая, что конечная температура $t_к = 0$ °C:

$t_н = \frac{3.3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 900 \frac{кг}{м^3}}{920 \frac{Дж}{кг \cdot °С} \cdot 2700 \frac{кг}{м^3}} + 0 \text{ °C}$

$t_н = \frac{2.97 \cdot 10^8}{2.484 \cdot 10^6} \text{ °C} = \frac{297}{2.484} \text{ °C} \approx 119.56 \text{ °C}$

Округляя результат до целого значения, получаем:

$t_н \approx 120 \text{ °C}$

Ответ: начальная температура куба была примерно 120 °C.