Номер 6.64, страница 35 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Тепловые явления. 6. Плавление и кристаллизация - номер 6.64, страница 35.

Условие.

6.64. В калориметре находятся лед и вода при температуре $0 ^{\circ}\text{C}$. Масса льда и воды одинакова и равна $500 \, \text{г}$. В калориметр наливают воду массой $1 \, \text{кг}$ при температуре $50 ^{\circ}\text{C}$ Какая температура установится в калориметре?

Решение.

Дано:

Масса льда, $m_л$ = 500 г

Масса воды в калориметре, $m_{в1}$ = 500 г

Начальная температура льда и воды, $t_1$ = 0 °C

Масса наливаемой воды, $m_{в2}$ = 1 кг

Температура наливаемой воды, $t_2$ = 50 °C

Удельная теплоемкость воды, $c = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Удельная теплота плавления льда, $\lambda = 3.3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$

Перевод в систему СИ:

$m_л = 500 \text{ г} = 0.5 \text{ кг}$

$m_{в1} = 500 \text{ г} = 0.5 \text{ кг}$

Найти:

Установившаяся температура в калориметре, $t_к$ - ?

Решение:

Процесс в калориметре будет состоять из нескольких этапов: горячая вода отдает тепло, а лед и холодная вода его получают. Лед сначала будет плавиться, а затем получившаяся вода (вместе с уже имевшейся) будет нагреваться.

Сначала проверим, хватит ли тепла, выделяемого горячей водой при ее остывании до 0 °C, чтобы растопить весь лед.

Количество теплоты, необходимое для плавления всего льда:

$Q_{пл} = \lambda \cdot m_л = 3.3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 0.5 \text{ кг} = 165000 \text{ Дж}$

Максимальное количество теплоты, которое может отдать горячая вода, остывая до температуры плавления льда (0 °C):

$Q_{отд.макс} = c \cdot m_{в2} \cdot (t_2 - t_1) = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 1 \text{ кг} \cdot (50 \text{°C} - 0 \text{°C}) = 210000 \text{ Дж}$

Поскольку $Q_{отд.макс} > Q_{пл}$ ($210000 \text{ Дж} > 165000 \text{ Дж}$), весь лед растает, и конечная температура смеси будет выше 0 °C.

Составим уравнение теплового баланса для замкнутой системы (калориметра). Количество теплоты, отданное горячей водой, равно количеству теплоты, пошедшему на плавление льда и на нагревание всей воды (изначальной и растаявшей) до конечной температуры $t_к$.

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

Теплота, отданная горячей водой:

$Q_{отд} = c \cdot m_{в2} \cdot (t_2 - t_к)$

Теплота, полученная льдом и холодной водой:

$Q_{получ} = \lambda \cdot m_л + c \cdot (m_л + m_{в1}) \cdot (t_к - t_1)$

Приравниваем эти два выражения:

$c \cdot m_{в2} \cdot (t_2 - t_к) = \lambda \cdot m_л + c \cdot (m_л + m_{в1}) \cdot (t_к - 0)$

Раскроем скобки и выразим конечную температуру $t_к$:

$c \cdot m_{в2} \cdot t_2 - c \cdot m_{в2} \cdot t_к = \lambda \cdot m_л + c \cdot (m_л + m_{в1}) \cdot t_к$

$c \cdot m_{в2} \cdot t_2 - \lambda \cdot m_л = c \cdot m_{в2} \cdot t_к + c \cdot (m_л + m_{в1}) \cdot t_к$

$c \cdot m_{в2} \cdot t_2 - \lambda \cdot m_л = t_к \cdot (c \cdot m_{в2} + c \cdot m_л + c \cdot m_{в1})$

$t_к = \frac{c \cdot m_{в2} \cdot t_2 - \lambda \cdot m_л}{c \cdot (m_{в2} + m_л + m_{в1})}$

Подставим числовые значения:

$t_к = \frac{4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 1 \text{ кг} \cdot 50 \text{°C} - 3.3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 0.5 \text{ кг}}{4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot (1 \text{ кг} + 0.5 \text{ кг} + 0.5 \text{ кг})}$

$t_к = \frac{210000 \text{ Дж} - 165000 \text{ Дж}}{4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 2 \text{ кг}} = \frac{45000 \text{ Дж}}{8400 \frac{Дж}{°C}} \approx 5.36 \text{ °C}$

Ответ: в калориметре установится температура примерно 5.4 °C.