Номер 6.67, страница 35 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Тепловые явления. 6. Плавление и кристаллизация - номер 6.67, страница 35.

Условие.

6.67. В калориметр, содержащий воду массой $2 \text{ кг}$ при температуре $20 \text{ °C}$, бросили ледяной шар массой $1 \text{ кг}$, в центр которого вморожен стальной шарик массой $50 \text{ г}$. Температура льда $0 \text{ °C}$. Где окажется стальной шарик после установления теплового равновесия?

Решение.

Дано

Масса воды: $m_в = 2 \text{ кг}$
Начальная температура воды: $t_в = 20 \text{ °C}$
Масса ледяного шара: $m_л = 1 \text{ кг}$
Начальная температура льда: $t_л = 0 \text{ °C}$
Масса стального шарика: $m_с = 50 \text{ г}$
Начальная температура стального шарика: $t_с = 0 \text{ °C}$

Масса стального шарика в СИ:
$m_с = 50 \text{ г} = 0.05 \text{ кг}$

Справочные величины:
Удельная теплоемкость воды: $c_в = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
Удельная теплота плавления льда: $\lambda = 3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$
Плотность стали: $\rho_с \approx 7850 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
Плотность льда: $\rho_л \approx 917 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
Плотность воды: $\rho_в \approx 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

Местоположение стального шарика после установления теплового равновесия.

Решение

Для того чтобы определить, где окажется стальной шарик, необходимо сначала выяснить конечное состояние системы (вода + лед + шарик) после установления теплового равновесия. Для этого сравним количество теплоты, которое может отдать вода при остывании до $0 \text{ °C}$, с количеством теплоты, необходимым для плавления всего льда.

1. Определим максимальное количество теплоты, которое может отдать вода, остывая от начальной температуры $t_в = 20 \text{ °C}$ до температуры плавления льда $0 \text{ °C}$.

$Q_{отд} = c_в \cdot m_в \cdot (t_в - 0 \text{ °C})$

$Q_{отд} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 2 \text{ кг} \cdot (20 \text{ °C} - 0 \text{ °C}) = 168000 \text{ Дж}$

2. Теперь определим количество теплоты, необходимое, чтобы растопить весь лед, который уже находится при температуре $0 \text{ °C}$.

$Q_{плавл} = \lambda \cdot m_л$

$Q_{плавл} = 3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 1 \text{ кг} = 330000 \text{ Дж}$

3. Сравним полученные значения:

$168000 \text{ Дж} < 330000 \text{ Дж}$

Поскольку $Q_{отд} < Q_{плавл}$, тепла, выделяемого водой, недостаточно для того, чтобы растопить весь лед. Это означает, что в состоянии теплового равновесия в калориметре будет находиться смесь воды и льда при температуре $0 \text{ °C}$.

4. Найдем массу растаявшего льда ($m_{расплав}$). Эта масса расплавится за счет тепла, отданного водой.

$m_{расплав} = \frac{Q_{отд}}{\lambda} = \frac{168000 \text{ Дж}}{330000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} \approx 0.509 \text{ кг}$

5. Найдем массу оставшегося льда ($m_{ост}$).

$m_{ост} = m_л - m_{расплав} = 1 \text{ кг} - 0.509 \text{ кг} = 0.491 \text{ кг}$

Так как растаяла только часть льда, стальной шарик, находившийся в центре ледяного шара, останется внутри нерастаявшей части льда.

6. Теперь необходимо определить, будет ли оставшийся кусок льда со стальным шариком внутри плавать на поверхности воды или утонет. Для этого сравним среднюю плотность этого составного тела ($\rho_{ср}$) с плотностью воды ($\rho_в$).

Масса составного тела: $M = m_{ост} + m_с = 0.491 \text{ кг} + 0.05 \text{ кг} = 0.541 \text{ кг}$.

Объем составного тела равен сумме объемов оставшегося льда и стального шарика: $V = V_{ост} + V_с = \frac{m_{ост}}{\rho_л} + \frac{m_с}{\rho_с}$.

$V = \frac{0.491 \text{ кг}}{917 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} + \frac{0.05 \text{ кг}}{7850 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} \approx 0.0005354 \text{ м}^3 + 0.0000064 \text{ м}^3 \approx 0.0005418 \text{ м}^3$.

Средняя плотность: $\rho_{ср} = \frac{M}{V} = \frac{0.541 \text{ кг}}{0.0005418 \text{ м}^3} \approx 998.5 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.

Сравниваем среднюю плотность с плотностью воды: $\rho_{ср} \approx 998.5 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} < \rho_в = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.

Поскольку средняя плотность составного тела меньше плотности воды, оно будет плавать на поверхности воды.

Таким образом, после установления теплового равновесия стальной шарик будет находиться внутри куска льда, который плавает на поверхности воды.

Ответ: Стальной шарик окажется внутри куска льда, плавающего на поверхности воды.