Номер 6.60, страница 34 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Тепловые явления. 6. Плавление и кристаллизация - номер 6.60, страница 34.

Условие.

6.60. В калориметре находится вода массой 5 кг при температуре 20 °С. В нее помещают кусок льда массой 2,5 кг. Какова была начальная температура льда, если конечная масса льда оказалась равной 1,7 кг?

Решение.

Дано:

Масса воды, $m_в = 5$ кг
Начальная температура воды, $t_в = 20$ °C
Начальная масса льда, $m_{л1} = 2,5$ кг
Конечная масса льда, $m_{л2} = 1,7$ кг
Удельная теплоемкость воды, $c_в = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °С}$
Удельная теплоемкость льда, $c_л = 2100 \frac{Дж}{кг \cdot °С}$
Удельная теплота плавления льда, $\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$

Найти:

Начальная температура льда, $t_{л1}$ - ?

Решение:

Поскольку в конце теплообмена в калориметре остался лед, конечная температура смеси равна температуре плавления льда, то есть $t_{кон} = 0$ °C.

В процессе теплообмена вода отдает теплоту при охлаждении, а лед получает теплоту. Полученная льдом теплота идет на два процесса:
1. Нагревание всего куска льда от начальной температуры $t_{л1}$ до температуры плавления $t_{пл} = 0$ °C.
2. Плавление части льда.

Составим уравнение теплового баланса. Количество теплоты, отданное водой ($Q_{отд}$), равно сумме количеств теплоты, полученных льдом на нагревание ($Q_{нагр}$) и плавление ($Q_{пл}$).
$Q_{отд} = Q_{нагр} + Q_{пл}$

Количество теплоты, отданное водой при охлаждении от $t_в = 20$ °C до $t_{кон} = 0$ °C:
$Q_{отд} = c_в \cdot m_в \cdot (t_в - t_{кон})$

Масса растаявшего льда:
$\Delta m_л = m_{л1} - m_{л2} = 2,5 \text{ кг} - 1,7 \text{ кг} = 0,8 \text{ кг}$

Количество теплоты, пошедшее на плавление этой массы льда:
$Q_{пл} = \lambda \cdot \Delta m_л$

Количество теплоты, пошедшее на нагревание всей начальной массы льда от температуры $t_{л1}$ до $t_{пл} = 0$ °C:
$Q_{нагр} = c_л \cdot m_{л1} \cdot (t_{пл} - t_{л1})$

Подставим выражения для количеств теплоты в уравнение теплового баланса:
$c_в \cdot m_в \cdot (t_в - t_{кон}) = c_л \cdot m_{л1} \cdot (t_{пл} - t_{л1}) + \lambda \cdot \Delta m_л$

Так как $t_{кон} = t_{пл} = 0$ °C, уравнение принимает вид:
$c_в \cdot m_в \cdot t_в = c_л \cdot m_{л1} \cdot (0 - t_{л1}) + \lambda \cdot \Delta m_л$
$c_в \cdot m_в \cdot t_в = -c_л \cdot m_{л1} \cdot t_{л1} + \lambda \cdot \Delta m_л$

Выразим из этого уравнения искомую начальную температуру льда $t_{л1}$:
$c_л \cdot m_{л1} \cdot t_{л1} = \lambda \cdot \Delta m_л - c_в \cdot m_в \cdot t_в$
$t_{л1} = \frac{\lambda \cdot \Delta m_л - c_в \cdot m_в \cdot t_в}{c_л \cdot m_{л1}}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:
$t_{л1} = \frac{3,3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 0,8 \text{ кг} - 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °С} \cdot 5 \text{ кг} \cdot 20 \text{ °C}}{2100 \frac{Дж}{кг \cdot °С} \cdot 2,5 \text{ кг}}$
$t_{л1} = \frac{264000 \text{ Дж} - 420000 \text{ Дж}}{5250 \frac{Дж}{°С}}$
$t_{л1} = \frac{-156000 \text{ Дж}}{5250 \frac{Дж}{°С}} \approx -29,714 \text{ °C}$

Округляя, получаем $t_{л1} \approx -29,7$ °C.

Ответ: начальная температура льда была приблизительно -29,7 °C.