Номер 6.63, страница 35 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Тепловые явления. 6. Плавление и кристаллизация - номер 6.63, страница 35.

Условие.

6.63. В воду массой 2 кг при температуре $30^\circ C$ положили лед, температура которого $0^\circ C$. Какая температура установится в сосуде, если масса льда:

а) 200 г;

б) 1 кг?

Решение.

Дано:

Масса воды, $m_в = 2 \text{ кг}$
Начальная температура воды, $t_в = 30 \text{ °C}$
Начальная температура льда, $t_л = 0 \text{ °C}$
Масса льда в случае а), $m_{л1} = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$
Масса льда в случае б), $m_{л2} = 1 \text{ кг}$
Удельная теплоемкость воды, $c_в = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
Удельная теплота плавления льда, $\lambda_л = 3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Найти:

Конечную температуру смеси, $t_к$ — ?

Решение:

В изолированной системе количество теплоты, отданное более нагретыми телами, равно количеству теплоты, полученному более холодными телами. В данном случае вода отдает тепло, а лед его получает.

а) 200 г;

Сначала проверим, хватит ли тепла, которое может отдать вода, остывая до 0 °C, чтобы растопить весь лед.
Количество теплоты, которое выделится при остывании воды от 30 °C до 0 °C:
$Q_в = c_в \cdot m_в \cdot (t_в - t_л) = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 2 \text{ кг} \cdot (30 \text{ °C} - 0 \text{ °C}) = 252000 \text{ Дж}$.
Количество теплоты, необходимое для плавления 200 г льда:
$Q_{пл1} = \lambda_л \cdot m_{л1} = 3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 0.2 \text{ кг} = 66000 \text{ Дж}$.
Так как $Q_в > Q_{пл1}$ ($252000 \text{ Дж} > 66000 \text{ Дж}$), весь лед растает, и конечная температура смеси будет выше 0 °C.
Составим уравнение теплового баланса. Пусть $t_к$ — конечная температура.
Теплота, отданная водой: $Q_{отд} = c_в \cdot m_в \cdot (t_в - t_к)$.
Теплота, полученная льдом, складывается из теплоты на плавление и теплоты на нагрев образовавшейся воды от 0 °C до $t_к$:
$Q_{пол} = \lambda_л \cdot m_{л1} + c_в \cdot m_{л1} \cdot (t_к - t_л)$.
Приравниваем отданную и полученную теплоту $Q_{отд} = Q_{пол}$:
$c_в \cdot m_в \cdot (t_в - t_к) = \lambda_л \cdot m_{л1} + c_в \cdot m_{л1} \cdot (t_к - 0)$
$c_в m_в t_в - c_в m_в t_к = \lambda_л m_{л1} + c_в m_{л1} t_к$
Соберем слагаемые с $t_к$ в одной части уравнения:
$c_в m_в t_в - \lambda_л m_{л1} = c_в m_в t_к + c_в m_{л1} t_к$
$c_в m_в t_в - \lambda_л m_{л1} = (m_в + m_{л1}) c_в t_к$
Выразим конечную температуру $t_к$:
$t_к = \frac{c_в m_в t_в - \lambda_л m_{л1}}{(m_в + m_{л1}) c_в}$
Подставим числовые значения:
$t_к = \frac{4200 \cdot 2 \cdot 30 - 3.3 \cdot 10^5 \cdot 0.2}{(2 + 0.2) \cdot 4200} = \frac{252000 - 66000}{2.2 \cdot 4200} = \frac{186000}{9240} \approx 20.1 \text{ °C}$

Ответ: установится температура примерно 20.1 °C.

б) 1 кг?

Аналогично пункту а), сначала проверим, хватит ли тепла от остывающей воды, чтобы растопить 1 кг льда.
Количество теплоты, которое может отдать вода, остывая от 30 °C до 0 °C, осталось прежним: $Q_в = 252000 \text{ Дж}$.
Количество теплоты, необходимое для плавления 1 кг льда:
$Q_{пл2} = \lambda_л \cdot m_{л2} = 3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 1 \text{ кг} = 330000 \text{ Дж}$.
Так как $Q_в < Q_{пл2}$ ($252000 \text{ Дж} < 330000 \text{ Дж}$), тепла, которое выделит вода, не хватит, чтобы растопить весь лед. Вода остынет до 0 °C, и часть льда растает. В сосуде установится тепловое равновесие между водой и оставшимся льдом. Температура такой смеси будет равна температуре плавления льда, то есть 0 °C.
Можно рассчитать, какая масса льда растает:
$m_{распл} = \frac{Q_в}{\lambda_л} = \frac{252000 \text{ Дж}}{3.3 \cdot 10^5 \text{ Дж/кг}} \approx 0.76 \text{ кг}$.
Так как $m_{распл} < m_{л2}$, не весь лед растает, и конечная температура будет 0 °C.

Ответ: установится температура 0 °C.