Номер 6.66, страница 35 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Тепловые явления. 6. Плавление и кристаллизация - номер 6.66, страница 35.

Условие.

6.66. В калориметре при температуре $0 °C$ находятся вода массой $500 \, \text{г}$ и лед массой $300 \, \text{г}$. Какая температура установится в калориметре, если долить в него $100 \, \text{г}$ кипятка? $500 \, \text{г}$ кипятка?

Решение.

Задача состоит из двух частей, которые мы решим последовательно, используя уравнение теплового баланса.

Дано:

Начальная температура воды и льда, $t_0 = 0 \text{ °C}$

Масса воды в калориметре, $m_в = 500 \text{ г}$

Масса льда в калориметре, $m_л = 300 \text{ г}$

Температура кипятка, $t_к = 100 \text{ °C}$

Масса кипятка (случай 1), $m_{к1} = 100 \text{ г}$

Масса кипятка (случай 2), $m_{к2} = 500 \text{ г}$

Удельная теплоемкость воды, $c_в = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Удельная теплота плавления льда, $\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Перевод в систему СИ:

$m_в = 0,5 \text{ кг}$

$m_л = 0,3 \text{ кг}$

$m_{к1} = 0,1 \text{ кг}$

$m_{к2} = 0,5 \text{ кг}$

Найти:

Установившуюся температуру в калориметре $\theta_1$ для случая 1 и $\theta_2$ для случая 2.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением теплового баланса. Количество теплоты, отданное горячим телом (кипятком), равно количеству теплоты, полученному холодным телом (смесью воды и льда). Теплообменом с калориметром и окружающей средой пренебрегаем.

100 г кипятка?

Сначала проверим, хватит ли тепла, выделяемого при остывании 100 г кипятка от 100 °C до 0 °C, чтобы растопить весь лед.

Количество теплоты, которое может отдать кипяток, остывая до 0 °C:

$Q_{отд} = c_в \cdot m_{к1} \cdot (t_к - t_0)$

$Q_{отд} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0,1 \text{ кг} \cdot (100 \text{ °C} - 0 \text{ °C}) = 42000 \text{ Дж}$

Количество теплоты, необходимое для плавления всего льда:

$Q_{пл} = \lambda \cdot m_л$

$Q_{пл} = 3,3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 0,3 \text{ кг} = 99000 \text{ Дж}$

Так как $Q_{отд} < Q_{пл}$ ($42000 \text{ Дж} < 99000 \text{ Дж}$), тепла, отданного кипятком, не хватит, чтобы растопить весь лед. Часть льда растает, а кипяток остынет до 0 °C. В калориметре установится тепловое равновесие, и конечная температура смеси будет равна температуре плавления льда, то есть 0 °C.

Ответ: В калориметре установится температура 0 °C.

500 г кипятка?

Теперь проверим, хватит ли тепла от 500 г кипятка, чтобы растопить весь лед.

Количество теплоты, которое может отдать кипяток, остывая до 0 °C:

$Q'_{отд} = c_в \cdot m_{к2} \cdot (t_к - t_0)$

$Q'_{отд} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0,5 \text{ кг} \cdot (100 \text{ °C} - 0 \text{ °C}) = 210000 \text{ Дж}$

Количество теплоты, необходимое для плавления всего льда, остается прежним: $Q_{пл} = 99000 \text{ Дж}$.

Так как $Q'_{отд} > Q_{пл}$ ($210000 \text{ Дж} > 99000 \text{ Дж}$), тепла, отданного кипятком, достаточно, чтобы растопить весь лед, и итоговая температура смеси $\theta$ будет выше 0 °C. Составим уравнение теплового баланса.

Количество теплоты, отданное кипятком при остывании до конечной температуры $\theta$:

$Q_{отданное} = c_в \cdot m_{к2} \cdot (t_к - \theta)$

Количество теплоты, полученное содержимым калориметра, складывается из тепла на плавление льда и тепла на нагревание всей первоначальной массы воды (изначальной и получившейся из льда) до температуры $\theta$:

$Q_{полученное} = \lambda \cdot m_л + c_в \cdot (m_в + m_л) \cdot (\theta - t_0)$

Приравниваем отданное и полученное тепло:

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

$c_в \cdot m_{к2} \cdot (t_к - \theta) = \lambda \cdot m_л + c_в \cdot (m_в + m_л) \cdot (\theta - t_0)$

Подставим числовые значения:

$4200 \cdot 0,5 \cdot (100 - \theta) = 3,3 \cdot 10^5 \cdot 0,3 + 4200 \cdot (0,5 + 0,3) \cdot (\theta - 0)$

$2100 \cdot (100 - \theta) = 99000 + 4200 \cdot 0,8 \cdot \theta$

$210000 - 2100\theta = 99000 + 3360\theta$

Соберем слагаемые с $\theta$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:

$210000 - 99000 = 3360\theta + 2100\theta$

$111000 = 5460\theta$

$\theta = \frac{111000}{5460} \approx 20,3 \text{ °C}$

Ответ: В калориметре установится температура примерно 20,3 °C.