Номер 16.41, страница 83 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Электромагнитные явления. 16. Последовательное и параллельное соединения проводников - номер 16.41, страница 83.

Условие.

16.41. Как нужно соединить четыре резистора, сопротивление которых $R_1 = 0,5 \, \text{Ом}$, $R_2 = 2 \, \text{Ом}$, $R_3 = 3,5 \, \text{Ом}$ и $R_4 = 4 \, \text{Ом}$, чтобы их общее сопротивление было $1 \, \text{Ом}$?

Решение.

Дано:

$R_1 = 0,5$ Ом

$R_2 = 2$ Ом

$R_3 = 3,5$ Ом

$R_4 = 4$ Ом

Требуемое общее сопротивление $R_{общ} = 1$ Ом.

Все величины заданы в единицах системы СИ.

Найти:

Схему соединения четырёх резисторов, при которой их общее сопротивление будет равно 1 Ом.

Решение:

Для решения задачи необходимо найти такую комбинацию последовательных и параллельных соединений данных резисторов, которая даст в итоге общее сопротивление, равное 1 Ом. Поскольку искомое сопротивление (1 Ом) меньше, чем сопротивления некоторых резисторов ($R_2, R_3, R_4$), и больше, чем сопротивление одного из них ($R_1$), очевидно, что требуется смешанное соединение.

Будем искать комбинации, которые приводят к "удобным" промежуточным значениям сопротивлений. Обратим внимание на то, что сумма сопротивлений резисторов $R_1$ и $R_3$ равна сопротивлению резистора $R_4$.

1. Соединим резисторы $R_1$ и $R_3$ последовательно. Их суммарное сопротивление, обозначим его $R_{13}$, будет:

$R_{13} = R_1 + R_3 = 0,5 \text{ Ом} + 3,5 \text{ Ом} = 4 \text{ Ом}$

2. Теперь у нас есть три элемента цепи: последовательная группа ($R_1$ и $R_3$) с сопротивлением $R_{13} = 4$ Ом, резистор $R_4 = 4$ Ом и резистор $R_2 = 2$ Ом. Сопротивления $R_{13}$ и $R_4$ равны. Соединим их параллельно. Общее сопротивление этого участка цепи, $R_{13,4}$, рассчитывается по формуле:

$\frac{1}{R_{13,4}} = \frac{1}{R_{13}} + \frac{1}{R_4} = \frac{1}{4 \text{ Ом}} + \frac{1}{4 \text{ Ом}} = \frac{2}{4 \text{ Ом}} = \frac{1}{2 \text{ Ом}}$

Отсюда $R_{13,4} = 2$ Ом.

3. Мы получили сопротивление $R_{13,4} = 2$ Ом, которое в точности равно сопротивлению последнего оставшегося резистора $R_2$. Соединим этот участок цепи параллельно с резистором $R_2$. Общее сопротивление всей цепи $R_{общ}$ будет:

$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_{13,4}} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{2 \text{ Ом}} + \frac{1}{2 \text{ Ом}} = \frac{2}{2 \text{ Ом}} = 1 \text{ Ом}^{-1}$

Таким образом, $R_{общ} = 1$ Ом, что и требовалось получить.

Искомая схема соединения: резисторы $R_1$ и $R_3$ соединены последовательно. К этой группе параллельно подключен резистор $R_4$. Вся эта часть цепи, в свою очередь, подключена параллельно к резистору $R_2$.

Ответ: Резисторы $R_1$ и $R_3$ нужно соединить последовательно. Эту группу необходимо подключить параллельно к резистору $R_4$. Затем всю получившуюся цепь подключить параллельно к резистору $R_2$.