Номер 16.42, страница 84 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Электромагнитные явления. 16. Последовательное и параллельное соединения проводников - номер 16.42, страница 84.

Условие.

16.42. Как получить сопротивление 9 Ом, использовав минимальное число одинаковых резисторов сопротивлением по 15 Ом? Нарисуйте схему соответствующего соединения.

Решение.

Дано:

Сопротивление одного резистора $R_0 = 15$ Ом.

Требуемое общее сопротивление $R_{общ} = 9$ Ом.

Найти:

Минимальное число резисторов $N_{min}$ и схему их соединения.

Решение:

Поскольку требуемое общее сопротивление ($\text{9}$ Ом) меньше сопротивления одного резистора ($\text{15}$ Ом), в схеме должно присутствовать параллельное соединение, так как оно уменьшает итоговое сопротивление.

Рассмотрим вариант, когда итоговая схема представляет собой параллельное соединение двух ветвей с сопротивлениями $R_A$ и $R_B$. Общее сопротивление в этом случае определяется по формуле: $\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_A} + \frac{1}{R_B}$

Предположим, что одна из ветвей, например ветвь A, состоит из одного резистора $R_0$. Тогда её сопротивление $R_A = 15$ Ом. Подставим известные значения в формулу, чтобы найти требуемое сопротивление второй ветви $R_B$:

$\frac{1}{9} = \frac{1}{15} + \frac{1}{R_B}$

$\frac{1}{R_B} = \frac{1}{9} - \frac{1}{15} = \frac{5 - 3}{45} = \frac{2}{45}$

Отсюда находим $R_B$: $R_B = \frac{45}{2} = 22.5$ Ом.

Теперь необходимо составить цепь с сопротивлением $22.5$ Ом из минимального числа резисторов по $\text{15}$ Ом. Так как $22.5$ Ом больше, чем $\text{15}$ Ом, в этой ветви должно быть последовательное соединение. Представим $R_B$ как сумму сопротивления одного резистора $R_0$ и некоторого дополнительного сопротивления $R_x$:

$R_B = R_0 + R_x$

$22.5 = 15 + R_x$

$R_x = 22.5 - 15 = 7.5$ Ом.

Сопротивление $R_x = 7.5$ Ом можно получить, соединив два резистора по $\text{15}$ Ом параллельно, так как сопротивление двух одинаковых параллельно соединенных резисторов равно половине сопротивления одного:

$R_x = \frac{R_0}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$ Ом.

Таким образом, ветвь B состоит из одного резистора, соединенного последовательно с блоком из двух параллельно соединенных резисторов. Для создания ветви B требуется $1 + 2 = 3$ резистора.

Общее минимальное число резисторов для всей схемы равно сумме резисторов в ветви A (1 резистор) и ветви B (3 резистора): $N_{min} = 1 + 3 = 4$ резистора.

Проверка на минимальность. Схемы из 1, 2 или 3 резисторов не могут дать сопротивление 9 Ом:
• 1 резистор: $\text{15}$ Ом.
• 2 резистора: $\text{30}$ Ом (последовательно), $7.5$ Ом (параллельно).
• 3 резистора: $\text{45}$ Ом (последовательно), $\text{5}$ Ом (параллельно), $\text{10}$ Ом (2 послед. || 1), $22.5$ Ом (2 паралл. + 1). Следовательно, 4 — это минимально возможное число резисторов.

Схема соответствующего соединения показана на рисунке. Она состоит из резистора $R_1$, который подключен параллельно со второй ветвью. Вторая ветвь содержит резистор $R_2$, соединенный последовательно с параллельной комбинацией резисторов $R_3$ и $R_4$. Все резисторы имеют сопротивление $\text{15}$ Ом.

Ответ: Минимальное число резисторов — 4. Схема соединения показана на рисунке выше.