Номер 9.42, страница 55 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.42, страница 55.

Условие.

9.42*. Герметически закрытый бак высотой $h = 5,0 \text{ м}$ заполнен водой доверху. На дне его находится пузырек воздуха. Давление у дна бака $p_0 = 0,15 \text{ МПа}$. Каким станет давление $\text{p}$ у дна, если пузырек всплывет? Стенки бака считайте абсолютно жесткими, воду — несжимаемой.

Решение.

Решение 2.

Дано

$h = 5,0$ м

$p_0 = 0,15$ МПа

$\rho = 1000$ кг/м³ (плотность воды)

$g \approx 10$ м/с² (ускорение свободного падения)

$p_0 = 0,15 \text{ МПа} = 0,15 \cdot 10^6 \text{ Па} = 150000 \text{ Па}$

Найти:

$\text{p}$

Решение

Это задача с подвохом, который заключается в условиях "стенки бака абсолютно жесткие" и "воду считать несжимаемой".

Рассмотрим систему "вода + пузырек воздуха" в герметичном баке постоянного объема $V_{бака}$. Общий объем системы складывается из объема воды $V_{воды}$ и объема пузырька воздуха $V_{пуз.}$.

$V_{бака} = V_{воды} + V_{пуз.}$

По условию, объем бака $V_{бака}$ постоянен (жесткие стенки), и объем воды $V_{воды}$ также постоянен (несжимаемая вода). Из этого следует, что и объем пузырька воздуха $V_{пуз.}$ должен оставаться постоянным в процессе его всплытия.

$V_{пуз.} = V_{бака} - V_{воды} = \text{const}$

Процесс всплытия пузырька можно считать изотермическим (температура воздуха в пузырьке не меняется). Для газа в пузырьке справедлив закон Бойля-Мариотта. Однако, поскольку объем пузырька $V_{пуз.}$ и его температура $\text{T}$ постоянны, из уравнения состояния идеального газа $pV = \nu RT$ следует, что и давление воздуха внутри пузырька $p_{пуз.}$ также должно оставаться постоянным.

$p_{пуз.} = \text{const}$

В начальном состоянии, когда пузырек находится на дне, давление внутри него равно давлению окружающей его воды на дне, то есть $p_0$.

$p_{пуз., нач.} = p_0 = 0,15$ МПа.

Когда пузырек всплывает наверх, его давление, как мы выяснили, не меняется. Таким образом, давление воздуха в пузырьке у поверхности воды будет таким же, как и на дне.

$p_{пуз., кон.} = p_{пуз., нач.} = p_0$.

Этот пузырек, находясь у поверхности, создает давление на поверхность воды, равное его собственному давлению. Таким образом, давление на верхнюю поверхность воды после всплытия пузырька станет равным $p_0$.

Давление $\text{p}$ на дне бака в конечном состоянии будет складываться из давления на поверхность воды и гидростатического давления столба воды высотой $\text{h}$.

$p = p_{пуз., кон.} + \rho g h$

Подставим известные значения:

$p = p_0 + \rho g h$

Вычислим гидростатическое давление:

$\rho g h = 1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 10 \frac{м}{с^2} \cdot 5,0 \text{ м} = 50000 \text{ Па} = 0,05 \text{ МПа}$

Теперь найдем конечное давление на дне:

$p = 0,15 \text{ МПа} + 0,05 \text{ МПа} = 0,20 \text{ МПа}$

Ответ: $p = 0,20$ МПа.