Номер 9.46, страница 55 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.46, страница 55.

Условие.

9.46**. Баллон с газом разделен на две части теплоизолирующей перегородкой с очень малым отверстием*). По разные стороны перегородки все время поддерживаются температуры $T_1$ и $T_2$. Каково отношение давлений $p_1$ и $p_2$ в различных частях баллона?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Баллон с газом, разделенный на две части (1 и 2) теплоизолирующей перегородкой с очень малым отверстием.

Температура в части 1: $T_1$

Температура в части 2: $T_2$

Давление в части 1: $p_1$

Давление в части 2: $p_2$

Температуры $T_1$ и $T_2$ поддерживаются постоянными.

Найти:

Отношение давлений $\frac{p_1}{p_2}$.

Решение:

Поскольку в перегородке есть очень малое отверстие (предполагается, что его диаметр меньше средней длины свободного пробега молекул), молекулы газа могут переходить из одной части баллона в другую. Этот процесс называется эффузией. Со временем в системе установится стационарное состояние, при котором число молекул, переходящих из первой части во вторую в единицу времени, будет равно числу молекул, переходящих в обратном направлении. Это состояние не является состоянием полного термодинамического равновесия, так как по условию задачи температуры в обеих частях поддерживаются разными ($T_1 \neq T_2$).

Согласно молекулярно-кинетической теории, число молекул, ударяющихся о единицу площади поверхности в единицу времени, определяется выражением $Z = \frac{1}{4}n\langle v \rangle$, где $\text{n}$ – концентрация молекул, а $\langle v \rangle$ – их средняя арифметическая скорость.

Пусть площадь отверстия равна $\text{S}$. Тогда число молекул, проходящих из части 1 в часть 2 в единицу времени ($N_{1 \to 2}$), и число молекул, проходящих из части 2 в часть 1 ($N_{2 \to 1}$), равны:

$N_{1 \to 2} = Z_1 S = \frac{1}{4}n_1\langle v_1 \rangle S$

$N_{2 \to 1} = Z_2 S = \frac{1}{4}n_2\langle v_2 \rangle S$

В стационарном состоянии эти потоки уравновешивают друг друга:

$N_{1 \to 2} = N_{2 \to 1}$

$\frac{1}{4}n_1\langle v_1 \rangle S = \frac{1}{4}n_2\langle v_2 \rangle S$

Сокращая общие множители, получаем условие стационарности:

$n_1\langle v_1 \rangle = n_2\langle v_2 \rangle$

Из уравнения состояния идеального газа $p = nkT$ (где $\text{k}$ – постоянная Больцмана) выразим концентрацию молекул: $n = \frac{p}{kT}$.

Средняя арифметическая скорость молекул газа зависит от температуры как $\langle v \rangle \propto \sqrt{T}$. Точнее, $\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$, где $\text{m}$ – масса одной молекулы.

Подставим выражения для $\text{n}$ и $\langle v \rangle$ в условие стационарности:

$\frac{p_1}{kT_1} \cdot C\sqrt{T_1} = \frac{p_2}{kT_2} \cdot C\sqrt{T_2}$

где $\text{C}$ – константа пропорциональности. После сокращения одинаковых множителей ($\text{k}$ и $\text{C}$) получаем:

$\frac{p_1}{T_1}\sqrt{T_1} = \frac{p_2}{T_2}\sqrt{T_2}$

$\frac{p_1}{\sqrt{T_1}} = \frac{p_2}{\sqrt{T_2}}$

Из этого соотношения выражаем искомое отношение давлений:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{\sqrt{T_1}}{\sqrt{T_2}} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

Этот результат известен как закон Кнудсена для эффузии.

Ответ:

Отношение давлений в различных частях баллона равно $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.