Номер 9.47, страница 55 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.47, страница 55.

Условие.

9.47*. Поршень массой $\text{m}$ находится в равновесии посередине герметично закрытого цилиндра (см. рисунок). В каждой половине цилиндра находится $\text{v}$ молей газа при абсолютной температуре $\text{T}$. Найдите период $\tau$ малых колебаний поршня, считая, что температура газа при колебаниях остается неизменной. Трением можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса поршня: $\text{m}$

Количество вещества газа в каждой половине цилиндра: $\nu$

Абсолютная температура газа: $\text{T}$

Длина каждой половины цилиндра в положении равновесия: $\text{l}$

Универсальная газовая постоянная: $\text{R}$

Найти:

Период малых колебаний поршня: $\tau$

Решение:

В положении равновесия поршень находится посередине цилиндра. Давление газа в обеих половинах одинаково. Обозначим это давление как $P_0$, а площадь поперечного сечения поршня как $\text{S}$. Объем каждой половины цилиндра в этом состоянии равен $V_0 = S \cdot l$.

Согласно уравнению состояния идеального газа (уравнению Менделеева-Клапейрона):

$P_0 V_0 = \nu R T$

Отсюда начальное давление $P_0 = \frac{\nu R T}{V_0} = \frac{\nu R T}{S l}$.

Сместим поршень из положения равновесия на малое расстояние $\text{x}$ вправо. Объемы левой и правой частей цилиндра изменятся и станут равными:

$V_1 = S(l+x)$

$V_2 = S(l-x)$

Поскольку по условию температура газа при колебаниях остается неизменной ($T = \text{const}$), процесс является изотермическим. Давления в левой и правой частях станут соответственно:

$P_1 = \frac{\nu R T}{V_1} = \frac{\nu R T}{S(l+x)}$

$P_2 = \frac{\nu R T}{V_2} = \frac{\nu R T}{S(l-x)}$

На поршень будет действовать возвращающая сила $\text{F}$, равная разности сил давления со стороны левой и правой частей:

$F = F_1 - F_2 = P_1 S - P_2 S = S(P_1 - P_2)$

Подставим выражения для давлений:

$F = S \left( \frac{\nu R T}{S(l+x)} - \frac{\nu R T}{S(l-x)} \right) = \nu R T \left( \frac{1}{l+x} - \frac{1}{l-x} \right)$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$F = \nu R T \frac{(l-x) - (l+x)}{(l+x)(l-x)} = \nu R T \frac{-2x}{l^2 - x^2}$

Поскольку колебания малые, смещение $\text{x}$ значительно меньше длины $\text{l}$ ($x \ll l$). Следовательно, в знаменателе можно пренебречь членом $x^2$ по сравнению с $l^2$, то есть $l^2 - x^2 \approx l^2$.

Тогда выражение для возвращающей силы примет вид:

$F \approx - \frac{2 \nu R T}{l^2} x$

Это выражение соответствует закону Гука $F = -kx$, где $\text{k}$ - коэффициент жесткости (в данном случае, эффективный). Это означает, что поршень совершает гармонические колебания.

Эффективный коэффициент жесткости системы равен:

$k = \frac{2 \nu R T}{l^2}$

Период гармонических колебаний определяется по формуле:

$\tau = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Подставим в эту формулу найденное значение $\text{k}$:

$\tau = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{2 \nu R T}{l^2}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m l^2}{2 \nu R T}}$

Вынеся $\text{l}$ из-под корня, получим окончательное выражение для периода колебаний:

$\tau = 2\pi l \sqrt{\frac{m}{2 \nu R T}}$

Ответ: $\tau = 2\pi l \sqrt{\frac{m}{2 \nu R T}}$