Номер 9.45, страница 55 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.45, страница 55.

Условие.

9.45*. Какой радиус $\text{r}$ должен иметь наполненный гелием воздушный шар, чтобы он мог подняться в воздух, если масса $1 \text{ м}^2$ оболочки шара $m_0 = 50 \text{ г}$? Температура воздуха $t = 27 \text{ °C}$, давление $p_a = 100 \text{ кПа}$, разностью давлений внутри шара и снаружи можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса 1 м² оболочки шара (поверхностная плотность): $m_0 = 50 \text{ г/м}^2$

Температура воздуха: $t = 27 \text{ °C}$

Давление воздуха: $p_a = 100 \text{ кПа}$

Справочные данные:

Молярная масса гелия: $M_{\text{He}} = 4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Средняя молярная масса воздуха: $M_{\text{возд}} \approx 29 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8.31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}$

Перевод в СИ:

$m_0 = 50 \cdot 10^{-3} \text{ кг/м}^2 = 0.05 \text{ кг/м}^2$

$T = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

$p_a = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Найти:

Радиус шара $\text{r}$.

Решение:

Для того чтобы воздушный шар мог подняться в воздух, действующая на него выталкивающая сила Архимеда $F_A$ должна быть, как минимум, равна суммарной силе тяжести $F_T$, действующей на шар (оболочку и гелий внутри).

Условие для минимального радиуса (условие равновесия):

$F_A = F_T$

Выталкивающая сила Архимеда равна весу вытесненного шаром воздуха:

$F_A = m_{\text{возд}} g = \rho_{\text{возд}} V g$

где $\rho_{\text{возд}}$ – плотность воздуха, $\text{V}$ – объем шара, $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Суммарная сила тяжести складывается из веса гелия внутри шара и веса его оболочки:

$F_T = (m_{\text{He}} + m_{\text{об}}) g = (\rho_{\text{He}} V + m_{\text{об}}) g$

где $\rho_{\text{He}}$ – плотность гелия, $m_{\text{об}}$ – масса оболочки.

Приравнивая силы и сокращая на $\text{g}$, получаем:

$\rho_{\text{возд}} V = \rho_{\text{He}} V + m_{\text{об}}$

$(\rho_{\text{возд}} - \rho_{\text{He}}) V = m_{\text{об}}$

Объем шара $\text{V}$ и масса его оболочки $m_{\text{об}}$ выражаются через искомый радиус $\text{r}$. Шар имеет сферическую форму, поэтому его объем и площадь поверхности равны:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

$S = 4\pi r^2$

Масса оболочки равна произведению площади ее поверхности $\text{S}$ на поверхностную плотность $m_0$:

$m_{\text{об}} = m_0 S = m_0 \cdot 4\pi r^2$

Подставим выражения для $\text{V}$ и $m_{\text{об}}$ в уравнение равновесия:

$(\rho_{\text{возд}} - \rho_{\text{He}}) \frac{4}{3}\pi r^3 = m_0 \cdot 4\pi r^2$

Сократим обе части на $4\pi r^2$ (поскольку радиус $\text{r}$ не может быть равен нулю):

$(\rho_{\text{возд}} - \rho_{\text{He}}) \frac{r}{3} = m_0$

Отсюда выражаем радиус $\text{r}$:

$r = \frac{3 m_0}{\rho_{\text{возд}} - \rho_{\text{He}}}$

Плотности воздуха и гелия найдем из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона) $pV = \frac{m}{M}RT$. Выразим плотность $\rho = \frac{m}{V} = \frac{pM}{RT}$. По условию, разностью давлений внутри шара и снаружи можно пренебречь, поэтому давление гелия равно давлению окружающего воздуха $p_a$. Температура гелия также равна температуре воздуха $\text{T}$.

$\rho_{\text{возд}} = \frac{p_a M_{\text{возд}}}{RT}$

$\rho_{\text{He}} = \frac{p_a M_{\text{He}}}{RT}$

Подставим эти выражения в формулу для радиуса:

$r = \frac{3 m_0}{\frac{p_a M_{\text{возд}}}{RT} - \frac{p_a M_{\text{He}}}{RT}} = \frac{3 m_0 RT}{p_a (M_{\text{возд}} - M_{\text{He}})}$

Теперь подставим числовые значения и произведем расчет:

$r = \frac{3 \cdot 0.05 \text{ кг/м}^2 \cdot 8.31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)} \cdot 300 \text{ К}}{10^5 \text{ Па} \cdot (29 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль} - 4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль})} = \frac{3 \cdot 0.05 \cdot 8.31 \cdot 300}{10^5 \cdot 25 \cdot 10^{-3}} = \frac{373.95}{2500} \approx 0.14958 \text{ м}$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем:

$r \approx 0.15 \text{ м}$

Ответ: радиус наполненного гелием воздушного шара должен быть примерно $0.15$ м или $\text{15}$ см.