Номер 9.44, страница 55 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.44, страница 55.

Условие.

9.44**. Герметически закрытый бак высотой $h = 5,0 \text{ м}$ заполнен водой доверху. На дне его находятся два одинаковых пузырька воздуха. Давление на дно бака $p_0 = 0,15 \text{ МПа}$. Каким станет это давление, если всплывет один пузырек? Оба пузырька? Стенки бака считайте абсолютно жесткими, воду — несжимаемой.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$h = 5.0 \text{ м}$

$p_0 = 0.15 \text{ МПа}$

$\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Перевод в СИ:

$p_0 = 0.15 \times 10^6 \text{ Па} = 150000 \text{ Па}$

Найти:

$p_1$ - давление на дне, если всплывет один пузырек.

$p_2$ - давление на дне, если всплывут оба пузырька.

Решение:

Поскольку бак герметично закрыт, его стенки абсолютно жестки, а вода несжимаема, то суммарный объем, занимаемый водой и пузырьками воздуха, остается постоянным. Будем считать процесс всплытия изотермическим, так что для воздуха в пузырьках выполняется закон Бойля-Мариотта: $pV = \text{const}$.

Начальное давление на дне $p_0$ равно давлению внутри пузырьков, находящихся на дне. Обозначим начальный объем одного пузырька как $V_0$.

Гидростатическое давление столба воды высотой $\text{h}$ составляет:

$p_h = \rho g h = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 5.0 \text{ м} = 50000 \text{ Па} = 0.05 \text{ МПа}$.

Если всплывет один пузырек

Пусть новое установившееся давление на дне бака станет $p_1$. Тогда давление у верхней поверхности воды будет $p_{top,1} = p_1 - \rho g h$. Один пузырек останется на дне, его давление будет равно $p_1$, а объем станет $V_{bottom,1}$. Второй пузырек всплывет к верхней поверхности, его давление станет $p_{top,1}$, а объем — $V_{top,1}$.

Согласно закону Бойля-Мариотта для каждого из пузырьков:

$p_0 V_0 = p_1 V_{bottom,1} \implies V_{bottom,1} = \frac{p_0 V_0}{p_1}$

$p_0 V_0 = p_{top,1} V_{top,1} \implies V_{top,1} = \frac{p_0 V_0}{p_{top,1}}$

Так как общий объем системы "вода + воздух" постоянен, а вода несжимаема, то суммарный объем воздуха также должен оставаться постоянным. Начальный объем воздуха был $2V_0$. Новый суммарный объем: $V_{bottom,1} + V_{top,1}$.

$2V_0 = V_{bottom,1} + V_{top,1} = \frac{p_0 V_0}{p_1} + \frac{p_0 V_0}{p_{top,1}}$

Сократим на $V_0$ (объем пузырька не равен нулю) и подставим выражение для $p_{top,1}$:

$2 = \frac{p_0}{p_1} + \frac{p_0}{p_1 - \rho g h}$

Преобразуем это уравнение для нахождения $p_1$:

$2 p_1 (p_1 - \rho g h) = p_0 (p_1 - \rho g h) + p_0 p_1$

$2 p_1^2 - 2 p_1 \rho g h = 2 p_0 p_1 - p_0 \rho g h$

$2 p_1^2 - 2(p_0 + \rho g h) p_1 + p_0 \rho g h = 0$

$p_1^2 - (p_0 + \rho g h) p_1 + \frac{p_0 \rho g h}{2} = 0$

Подставим числовые значения ($p_0 = 150000 \text{ Па}$, $\rho g h = 50000 \text{ Па}$):

$p_1^2 - (150000 + 50000) p_1 + \frac{150000 \cdot 50000}{2} = 0$

$p_1^2 - 200000 p_1 + 3.75 \cdot 10^9 = 0$

Решаем квадратное уравнение:

$D = (-200000)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3.75 \cdot 10^9) = 4 \cdot 10^{10} - 1.5 \cdot 10^{10} = 2.5 \cdot 10^{10} \text{ Па}^2$

$p_1 = \frac{200000 \pm \sqrt{2.5 \cdot 10^{10}}}{2} \approx \frac{200000 \pm 158114}{2}$

Получаем два корня: $p_{1,a} \approx 179057 \text{ Па}$ и $p_{1,b} \approx 20943 \text{ Па}$.

Давление на дне $p_1$ должно быть больше гидростатического давления $\rho g h$, чтобы давление на поверхности $p_{top,1}$ было положительным. Условию $p_1 > 50000 \text{ Па}$ удовлетворяет только первый корень.

Ответ: Давление на дне станет приблизительно $179057 \text{ Па} \approx 0.18 \text{ МПа}$.

Если всплывут оба пузырька

Пусть новое давление на дне бака станет $p_2$. Тогда давление у верхней поверхности воды будет $p_{top,2} = p_2 - \rho g h$. Оба пузырька всплыли, их давление стало $p_{top,2}$, а объем каждого — $V_2$.

По закону Бойля-Мариотта для одного пузырька:

$p_0 V_0 = p_{top,2} V_2$

Суммарный объем воздуха не меняется: начальный объем $2V_0$ равен конечному объему $2V_2$. Отсюда следует, что $V_0 = V_2$.

Подставив $V_0 = V_2$ в уравнение закона Бойля-Мариотта, получаем:

$p_0 = p_{top,2}$

Это означает, что новое давление на верхней поверхности воды равно начальному давлению на дне бака. Теперь найдем новое давление на дне $p_2$:

$p_2 = p_{top,2} + \rho g h = p_0 + \rho g h$

Подставим числовые значения:

$p_2 = 150000 \text{ Па} + 50000 \text{ Па} = 200000 \text{ Па} = 0.20 \text{ МПа}$.

Ответ: Давление на дне станет $0.20 \text{ МПа}$.