Номер 9.38, страница 54 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.38, страница 54.

Условие.

9.38. После включения обогревателя температура в комнате повысилась с $t_1 = 15 \text{ °C}$ до $t_2 = 21 \text{ °C}$. На сколько изменилось количество молекул воздуха в комнате? Объем комнаты $V = 80 \text{ м}^3$, атмосферное давление $p_a = 10^5 \text{ Па}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$t_1 = 15 \text{ °C}$

$t_2 = 21 \text{ °C}$

$V = 80 \text{ м}^3$

$p_a = 10^5 \text{ Па}$

Постоянная Больцмана $k \approx 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$

Для решения задачи необходимо перевести температуру из градусов Цельсия в Кельвины:
$T_1 = t_1 + 273 = 15 + 273 = 288 \text{ К}$
$T_2 = t_2 + 273 = 21 + 273 = 294 \text{ К}$

Найти:

На сколько изменилось количество молекул воздуха в комнате, $\Delta N$.

Решение:

Для решения задачи будем считать воздух в комнате идеальным газом. Состояние идеального газа описывается уравнением состояния, которое в молекулярно-кинетической теории имеет вид (уравнение Клапейрона):

$pV = NkT$

где $\text{p}$ – давление газа, $\text{V}$ – его объем, $\text{N}$ – число молекул в данном объеме, $\text{k}$ – постоянная Больцмана, $\text{T}$ – абсолютная температура газа в Кельвинах.

Поскольку комната не герметична, давление воздуха в ней постоянно и равно атмосферному давлению $p_a$. Объем воздуха, находящегося в комнате, также постоянен и равен объему комнаты $\text{V}$. При изменении температуры изменяется количество молекул $\text{N}$.

Выразим количество молекул из уравнения состояния:

$N = \frac{pV}{kT}$

Начальное количество молекул в комнате при температуре $T_1$ было:

$N_1 = \frac{p_aV}{kT_1}$

Конечное количество молекул в комнате при температуре $T_2$ стало:

$N_2 = \frac{p_aV}{kT_2}$

Так как температура повысилась ($T_2 > T_1$), то количество молекул в комнате уменьшилось ($N_2 < N_1$), поскольку часть воздуха вышла наружу. Изменение количества молекул равно:

$\Delta N = N_1 - N_2 = \frac{p_aV}{kT_1} - \frac{p_aV}{kT_2}$

Вынесем общий множитель за скобки, чтобы упростить выражение:

$\Delta N = \frac{p_aV}{k} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$\Delta N = \frac{p_aV}{k} \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\Delta N = \frac{10^5 \text{ Па} \cdot 80 \text{ м}^3}{1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}} \cdot \frac{294 \text{ К} - 288 \text{ К}}{288 \text{ К} \cdot 294 \text{ К}}$

$\Delta N = \frac{8 \cdot 10^6}{1,38 \cdot 10^{-23}} \cdot \frac{6}{84672}$

$\Delta N \approx (5,797 \cdot 10^{29}) \cdot (7,086 \cdot 10^{-5})$

$\Delta N \approx 41,08 \cdot 10^{24} \approx 4,1 \cdot 10^{25}$

Ответ: количество молекул воздуха в комнате уменьшилось на $4,1 \cdot 10^{25}$.