Номер 9.32, страница 53 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.32, страница 53.

Условие.

9.32*. Какова температура идеального газа в состоянии 2 (см. рисунок), если состояния 2 и 4 лежат на одной изотерме? Температуры $T_1$ и $T_3$ в состояниях 1 и 3 считайте заданными.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Идеальный газ совершает циклический процесс, показанный на $p-V$ диаграмме.

$T_1$ – температура газа в состоянии 1.

$T_3$ – температура газа в состоянии 3.

Состояния 2 и 4 лежат на одной изотерме.

Найти:

$T_2$ – температура газа в состоянии 2.

Решение:

Рассмотрим состояния идеального газа в точках 1, 2, 3 и 4, которые характеризуются параметрами $(p_1, V_1, T_1)$, $(p_2, V_2, T_2)$, $(p_3, V_3, T_3)$ и $(p_4, V_4, T_4)$ соответственно.

Из графика видно, что:

1 → 2 – изохорный процесс, следовательно, $V_1 = V_2$.

2 → 3 – изобарный процесс, следовательно, $p_2 = p_3$.

3 → 4 – изохорный процесс, следовательно, $V_3 = V_4$.

4 → 1 – изобарный процесс, следовательно, $p_4 = p_1$.

По условию задачи, состояния 2 и 4 лежат на одной изотерме. Это означает, что температуры в этих состояниях равны: $T_2 = T_4$.

Для изотермического процесса произведение давления на объем остается постоянным ($pV = \text{const}$). Следовательно, для состояний 2 и 4 мы можем записать:

$p_2 V_2 = p_4 V_4$

Подставим в это равенство известные из анализа графика соотношения: $V_2 = V_1$, $p_4 = p_1$ и $V_4 = V_3$.

$p_2 V_1 = p_1 V_3$

Из этого уравнения можно выразить отношение давлений через отношение объемов:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{V_3}{V_1}$ (1)

Теперь выразим эти отношения через температуры, используя законы для изопроцессов.

Для изохорного процесса 1 → 2 ($V = \text{const}$) справедлив закон Шарля:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \implies \frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1}$ (2)

Для изобарного процесса 2 → 3 ($p = \text{const}$) справедлив закон Гей-Люссака:

$\frac{V_2}{T_2} = \frac{V_3}{T_3}$

Так как $V_1 = V_2$, то:

$\frac{V_1}{T_2} = \frac{V_3}{T_3} \implies \frac{V_3}{V_1} = \frac{T_3}{T_2}$ (3)

Подставим выражения (2) и (3) в уравнение (1):

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_2}$

Из полученной пропорции выразим $T_2$:

$T_2^2 = T_1 T_3$

$T_2 = \sqrt{T_1 T_3}$

Ответ: $T_2 = \sqrt{T_1 T_3}$