Номер 9.30, страница 53 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.30, страница 53.

Условие.

9.30*. Укажите точку, в которой достигалась наибольшая температура идеального газа в ходе процесса, график которого изображен на рисунке (дайте графическое решение).

Решение.

Решение 2.

Решение

Согласно уравнению состояния идеального газа (уравнению Менделеева-Клапейрона), $pV = \nu RT$, где $\text{p}$ – давление, $\text{V}$ – объем, $\nu$ – количество вещества, $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная, а $\text{T}$ – абсолютная температура.

Для заданного количества газа ($\nu = \text{const}$) температура $\text{T}$ прямо пропорциональна произведению давления на объем: $T = \frac{pV}{\nu R}$. Следовательно, чтобы найти точку с максимальной температурой на графике процесса, необходимо найти точку, в которой произведение $\text{pV}$ достигает своего максимального значения.

Линии постоянной температуры на диаграмме $p-V$ называются изотермами. Уравнение изотермы имеет вид $pV = \text{const}$, что представляет собой семейство гипербол. Чем выше температура, тем дальше от начала координат расположена соответствующая изотерма.

Таким образом, задача сводится к нахождению на окружности, изображающей процесс, точки, которая принадлежит наиболее удаленной от начала координат изотерме. Такая изотерма будет касаться окружности в искомой точке. Точка касания и будет точкой с максимальной температурой.

Для графического нахождения этой точки необходимо провести прямую из начала координат ($\text{O}$) через центр окружности ($\text{C}$). Эта прямая пересечет окружность в двух точках. Точка пересечения, которая находится дальше от начала координат, и будет точкой с наибольшей температурой, так как в ней произведение $\text{pV}$ будет максимальным. Вторая точка пересечения, ближайшая к началу координат, будет соответствовать минимальной температуре в цикле.

На рисунке ниже представлено графическое построение:

На рисунке: $\text{O}$ - начало координат, $\text{C}$ - центр окружности, пунктирной красной линией показано построение, точка $\text{A}$ - точка максимальной температуры $T_{max}$, а пунктирная зеленая линия - соответствующая ей изотерма, касательная к циклу в этой точке.

Ответ: Наибольшая температура достигается в точке на окружности, которая лежит на прямой, проходящей через начало координат и центр окружности. Эта точка является наиболее удаленной от начала координат из двух точек пересечения данной прямой с окружностью.