Номер 9.23, страница 52 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.23, страница 52.

Условие.

9.23*. В шинах автомобиля температура воздуха $t_1 = 14 \text{ °C}$, а его давление $p_1 = 500 \text{ кПа}$. Во сколько раз уменьшится площадь соприкосновения колес с дорогой, если после поездки температура в шинах повысится до $t_2 = 57 \text{ °C}$? Атмосферное давление $p_a = 100 \text{ кПа}$. Изменением объема шины можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$t_1 = 14 °C$

$p_1 = 500 \text{ кПа}$

$t_2 = 57 °C$

$p_a = 100 \text{ кПа}$

$V = \text{const}$

Перевод в систему СИ:

$T_1 = t_1 + 273 = 14 + 273 = 287 \text{ К}$

$p_1 = 500 \times 10^3 \text{ Па} = 5 \times 10^5 \text{ Па}$

$T_2 = t_2 + 273 = 57 + 273 = 330 \text{ К}$

$p_a = 100 \times 10^3 \text{ Па} = 1 \times 10^5 \text{ Па}$

Найти:

$\frac{S_1}{S_2}$

Решение:

Поскольку по условию задачи изменением объема шины можно пренебречь, процесс нагревания воздуха в шине можно считать изохорным ($V = \text{const}$). Для изохорного процесса справедлив закон Шарля, который связывает абсолютное давление и абсолютную температуру газа:

$\frac{p}{T} = \text{const}$

Следовательно, для начального и конечного состояний воздуха в шине можно записать:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

Отсюда можем выразить абсолютное давление в шине после поездки ($p_2$):

$p_2 = p_1 \frac{T_2}{T_1}$

Сила упругости, с которой шина действует на дорогу и которая уравновешивает вес автомобиля, создается за счет избыточного (манометрического) давления воздуха в шине. Избыточное давление $\Delta p$ равно разности абсолютного давления в шине $\text{p}$ и атмосферного давления $p_a$. Сила $\text{F}$ связана с избыточным давлением и площадью соприкосновения $\text{S}$ соотношением:

$F = \Delta p \cdot S = (p - p_a)S$

Так как вес автомобиля не меняется, сила $\text{F}$ остается постоянной. Поэтому мы можем приравнять силы для начального и конечного состояний:

$F = (p_1 - p_a)S_1 = (p_2 - p_a)S_2$

Из этого равенства найдем искомое отношение площадей $\frac{S_1}{S_2}$:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{p_2 - p_a}{p_1 - p_a}$

Подставим в это выражение ранее найденное выражение для $p_2$:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{p_1 \frac{T_2}{T_1} - p_a}{p_1 - p_a}$

Теперь подставим числовые значения из системы СИ:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{5 \times 10^5 \text{ Па} \cdot \frac{330 \text{ К}}{287 \text{ К}} - 1 \times 10^5 \text{ Па}}{5 \times 10^5 \text{ Па} - 1 \times 10^5 \text{ Па}}$

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{5 \times 10^5 \cdot 1.1498 - 1 \times 10^5}{4 \times 10^5} = \frac{5.749 \times 10^5 - 1 \times 10^5}{4 \times 10^5} = \frac{4.749 \times 10^5}{4 \times 10^5} \approx 1.187$

Округляя результат до двух значащих цифр (как в исходных данных), получаем 1,2.

Ответ: площадь соприкосновения колес с дорогой уменьшится примерно в 1,2 раза.