Номер 9.19, страница 51 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.19, страница 51.

Условие.

9.19. Горизонтальный цилиндрический сосуд разделен на две части тонким подвижным поршнем. Одна часть сосуда содержит кислород, другая — такое же по массе количество водорода. Каково равновесное положение поршня, если длина сосуда $l = 50 \text{ см}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Горизонтальный цилиндрический сосуд.

Газ 1: кислород ($O_2$)

Газ 2: водород ($H_2$)

Массы газов равны: $m_1 = m_2 = m$

Общая длина сосуда: $l = 50 \text{ см}$

Молярная масса кислорода: $M_1 = M_{O_2} = 32 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Молярная масса водорода: $M_2 = M_{H_2} = 2 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Перевод в систему СИ:

$l = 0.5 \text{ м}$

Найти:

$l_1$, $l_2$ - ? (равновесное положение поршня, т.е. длины частей сосуда, занятых кислородом и водородом)

Решение:

Поршень в горизонтальном сосуде будет находиться в равновесии, когда силы давления газов с обеих сторон будут равны. Так как площадь поршня $\text{S}$ одинакова с обеих сторон, то условием равновесия является равенство давлений газов:

$P_1 = P_2$

где $P_1$ — давление кислорода, а $P_2$ — давление водорода.

Поскольку поршень тонкий и подвижный, можно считать, что в состоянии равновесия установится одинаковая температура газов в обеих частях сосуда:

$T_1 = T_2 = T$

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для кислорода и водорода:

$P_1 V_1 = \nu_1 R T$

$P_2 V_2 = \nu_2 R T$

Здесь $V_1$ и $V_2$ — объемы, занимаемые кислородом и водородом, $\nu_1$ и $\nu_2$ — их количества вещества, а $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная.

Из этих уравнений, учитывая, что $P_1 = P_2$ и $T_1 = T_2$, получаем:

$\frac{\nu_1 R T}{V_1} = \frac{\nu_2 R T}{V_2}$

Сократив $\text{R}$ и $\text{T}$, приходим к соотношению:

$\frac{\nu_1}{V_1} = \frac{\nu_2}{V_2}$ или $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\nu_1}{\nu_2}$

Количество вещества $\nu$ определяется как отношение массы газа $\text{m}$ к его молярной массе $\text{M}$: $\nu = \frac{m}{M}$. По условию задачи массы газов равны ($m_1 = m_2 = m$).

Количество вещества кислорода: $\nu_1 = \frac{m}{M_1}$

Количество вещества водорода: $\nu_2 = \frac{m}{M_2}$

Найдем отношение количеств вещества:

$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{m/M_1}{m/M_2} = \frac{M_2}{M_1}$

Подставим значения молярных масс:

$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{2 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}}{32 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}$

Следовательно, отношение объемов также равно $1/16$:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{16}$

Для цилиндрического сосуда объем газа пропорционален длине части сосуда, которую он занимает: $V = S \cdot l'$, где $\text{S}$ — площадь поперечного сечения. Обозначим длины частей с кислородом и водородом как $l_1$ и $l_2$ соответственно.

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{S \cdot l_1}{S \cdot l_2} = \frac{l_1}{l_2}$

Таким образом, получаем соотношение для длин:

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{16} \implies l_2 = 16 l_1$

Общая длина сосуда $\text{l}$ является суммой длин его частей:

$l = l_1 + l_2$

Подставим в это уравнение выражение для $l_2$:

$l = l_1 + 16 l_1 = 17 l_1$

Теперь можем найти $l_1$:

$l_1 = \frac{l}{17} = \frac{50 \text{ см}}{17} \approx 2.94 \text{ см}$

И, соответственно, $l_2$:

$l_2 = 16 l_1 = 16 \cdot \frac{50 \text{ см}}{17} = \frac{800}{17} \text{ см} \approx 47.06 \text{ см}$

Проверка: $l_1 + l_2 \approx 2.94 + 47.06 = 50 \text{ см}$.

Ответ:

В равновесном положении поршень разделит сосуд на две части: длина части, занятой кислородом, составит $l_1 = \frac{50}{17} \text{ см} \approx 2.94 \text{ см}$, а длина части, занятой водородом, — $l_2 = \frac{800}{17} \text{ см} \approx 47.06 \text{ см}$.