Номер 9.17, страница 51 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.17, страница 51.

Условие.

9.17*. Цилиндрический сосуд высотой $h = 60$ см до половины заполнен ртутью и герметично закрыт крышкой с сифонной трубкой, заполненной ртутью (см. рисунок). Трубка имеет колена равной длины и почти достигает дна сосуда. При каком давлении $\text{p}$ воздуха в сосуде ртуть перестанет вытекать через трубку? На сколько сантиметров понизится уровень ртути за время истечения? Начальное давление воздуха в сосуде совпадает с атмосферным ($H = 760$ мм рт. ст.).

Решение.

Решение 2.

Дано:

Высота сосуда $h = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$

Начальный уровень ртути $h_0 = h/2 = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

Начальное давление воздуха (атмосферное) $p_0 = p_a$, выраженное высотой ртутного столба $H = 760 \text{ мм рт. ст.} = 0.76 \text{ м рт. ст.}$

Найти:

Конечное давление воздуха $\text{p}$

Понижение уровня ртути $\Delta h$

Решение:

Ртуть будет вытекать из сосуда через сифон до тех пор, пока давление на уровне выходного отверстия трубки снаружи (атмосферное давление $p_a$) не сравняется с давлением на том же уровне внутри сосуда. Согласно условию, "трубка имеет колена равной длины и почти достигает дна сосуда". Это означает, что выходное отверстие сифона находится на одном уровне с дном сосуда.

Пусть $h_f$ – конечная высота столба ртути в сосуде, а $\text{p}$ – конечное давление воздуха над ртутью. Условие прекращения истечения ртути можно записать как равенство давлений на уровне дна сосуда:

$p + \rho g h_f = p_a$ (1)

где $\rho$ – плотность ртути, $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

В процессе вытекания ртути воздух в герметично закрытом сосуде расширяется. Будем считать этот процесс медленным, а значит, изотермическим. Тогда к нему применим закон Бойля-Мариотта: $p_0 V_0 = p V_f$, где $V_0$ и $V_f$ – начальный и конечный объемы воздуха.

Начальный объем воздуха $V_0 = S \cdot (h - h_0) = S \cdot (h - h/2) = S \cdot h/2$, где $\text{S}$ – площадь поперечного сечения сосуда.

Конечный объем воздуха $V_f = S \cdot (h - h_f)$.

Подставив объемы в закон Бойля-Мариотта, получим:

$p_a (S \cdot h/2) = p S (h - h_f)$

$p_a \cdot \frac{h}{2} = p (h - h_f)$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $\text{p}$ и $h_f$. Для удобства выразим давления через высоты ртутного столба. Атмосферное давление $p_a = \rho g H$. Разделим оба уравнения на $\rho g$:

Из (1): $\frac{p}{\rho g} + h_f = H \implies \frac{p}{\rho g} = H - h_f$

Из (2): $H \cdot \frac{h}{2} = \frac{p}{\rho g} \cdot (h - h_f)$

Подставим выражение для $\frac{p}{\rho g}$ из первого уравнения во второе:

$H \cdot \frac{h}{2} = (H - h_f) \cdot (h - h_f)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\frac{Hh}{2} = Hh - Hh_f - hh_f + h_f^2$

Получаем квадратное уравнение относительно $h_f$:

$h_f^2 - (H + h)h_f + \frac{Hh}{2} = 0$

Подставим числовые значения в СИ:

$h_f^2 - (0.76 + 0.6)h_f + \frac{0.76 \cdot 0.6}{2} = 0$

$h_f^2 - 1.36h_f + 0.228 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1.36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.228 = 1.8496 - 0.912 = 0.9376$

$\sqrt{D} \approx 0.9683$

Корни уравнения:

$h_{f1} = \frac{1.36 + 0.9683}{2} \approx 1.164 \text{ м}$

$h_{f2} = \frac{1.36 - 0.9683}{2} \approx 0.196 \text{ м}$

Конечный уровень ртути не может превышать начальный ($h_f < h_0 = 0.3 \text{ м}$), поэтому физический смысл имеет только второй корень: $h_f = 0.196 \text{ м} = 19.6 \text{ см}$.

При каком давлении p воздуха в сосуде ртуть перестанет вытекать через трубку?

Теперь найдем конечное давление воздуха $\text{p}$. Из уравнения (1) $p = p_a - \rho g h_f$. Выразим его в миллиметрах ртутного столба:

$p_{мм.рт.ст.} = H_{мм.рт.ст.} - h_{f, мм} = 760 \text{ мм рт. ст.} - 196 \text{ мм рт. ст.} = 564 \text{ мм рт. ст.}$

Ответ: $564 \text{ мм рт. ст.}$

На сколько сантиметров понизится уровень ртути за время истечения?

Понижение уровня ртути $\Delta h$ равно разности начального и конечного уровней:

$\Delta h = h_0 - h_f = 30 \text{ см} - 19.6 \text{ см} = 10.4 \text{ см}$.

Ответ: $10.4 \text{ см}$.