Номер 9.16, страница 51 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.16, страница 51.

Условие.

9.16. В левом, запаянном коленеU-образной трубки (см. рисунок) находитсястолб воздуха высотой $h_1 = 30$ см. Ртутьв обоих коленах находится на одном уровне.Какой будет высота $h_2$ столба воздуха в левомколене, если в правое долить ртуть доверху?Атмосферное давление $H = 760$ мм рт. ст.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальная высота столба воздуха $h_1 = 30$ см.

Атмосферное давление $H = 760$ мм рт. ст.

Перевод в систему СИ:

$h_1 = 0.3$ м.

$H = 0.76$ м рт. ст., что соответствует давлению $P_a = \rho_{Hg} g H \approx 1.01 \cdot 10^5$ Па.

Найти:

Конечную высоту столба воздуха $h_2$.

Решение:

Будем считать процесс сжатия воздуха в запаянном колене изотермическим, так как изменение объема происходит достаточно медленно, и температура воздуха успевает выровняться с температурой окружающей среды. В этом случае для воздуха в левом колене выполняется закон Бойля-Мариотта: $P \cdot V = const$.

Рассмотрим начальное и конечное состояния системы.

В начальном состоянии (состояние 1) давление воздуха в левом колене $P_1$ равно атмосферному давлению $P_a$, поскольку уровни ртути в обоих коленах одинаковы. Объем, занимаемый воздухом, равен $V_1 = S \cdot h_1$, где $\text{S}$ — площадь поперечного сечения трубки. Для удобства дальнейших расчетов выразим давление в сантиметрах ртутного столба: $P_1 = P_a = H = 76$ см рт. ст.

В конечном состоянии (состояние 2) в правое колено долили ртуть доверху. Высота столба воздуха в левом колене уменьшилась и стала равной $h_2$, а его давление увеличилось до $P_2$. Объем воздуха стал $V_2 = S \cdot h_2$. При этом уровень ртути в левом колене опустился на величину $(h_1 - h_2)$ относительно своего начального положения. Уровень ртути в правом колене поднялся до верхнего края трубки, то есть на высоту $h_1$ относительно начального уровня.

Таким образом, разность уровней ртути в левом и правом коленах составит $\Delta H = h_1 + (h_1 - h_2) = 2h_1 - h_2$.

Давление воздуха $P_2$ в левом колене теперь уравновешивается суммой атмосферного давления $P_a$ и гидростатического давления столба ртути высотой $\Delta H$. Следовательно, $P_2 = P_a + \Delta H$. Выражая давления в сантиметрах ртутного столба, получаем: $P_2 = H + 2h_1 - h_2$.

Согласно закону Бойля-Мариотта, $P_1 V_1 = P_2 V_2$. Подставив выражения для объемов ($V_1 = S h_1$ и $V_2 = S h_2$), получим $P_1 h_1 = P_2 h_2$.

Теперь подставим выражения для давлений в это уравнение:

$H \cdot h_1 = (H + 2h_1 - h_2) \cdot h_2$

Подставим числовые значения, выразив все высоты в сантиметрах: $h_1 = 30$ см, $H = 76$ см.

$76 \cdot 30 = (76 + 2 \cdot 30 - h_2) \cdot h_2$

$2280 = (76 + 60 - h_2) \cdot h_2$

$2280 = (136 - h_2) \cdot h_2$

Раскрыв скобки, получим квадратное уравнение относительно $h_2$:

$h_2^2 - 136h_2 + 2280 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-136)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2280 = 18496 - 9120 = 9376$

Найдем корни уравнения:

$h_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{136 \pm \sqrt{9376}}{2} \approx \frac{136 \pm 96.83}{2}$

Получаем два возможных решения:

$h_{2,1} \approx \frac{136 + 96.83}{2} \approx 116.4$ см

$h_{2,2} \approx \frac{136 - 96.83}{2} \approx 19.6$ см

Поскольку воздух в левом колене сжимается, его конечная высота $h_2$ должна быть меньше начальной высоты $h_1 = 30$ см. Следовательно, физический смысл имеет только второй корень.

Ответ: $h_2 \approx 19.6$ см.