Номер 9.20, страница 52 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.20, страница 52.

Условие.

9.20. Два баллона, имеющие объемы $V_1$ и $V_2$, содержат газы при одинаковой температуре $\text{T}$ и давлениях $p_1$ и $p_2$ соответственно. Баллоны соединены трубкой с краном. Какое давление $\text{p}$ установится в баллонах, если открыть кран? Температура не изменяется, газы в химическую реакцию не вступают.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Объем первого баллона: $V_1$

Объем второго баллона: $V_2$

Начальное давление в первом баллоне: $p_1$

Начальное давление во втором баллоне: $p_2$

Температура газов: $T = \text{const}$

Найти:

Конечное давление в баллонах: $\text{p}$

Решение:

Поскольку температура газов в процессе смешивания не изменяется ($T = \text{const}$), процесс является изотермическим. Газы не вступают в химическую реакцию. Будем считать их идеальными газами.

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона) и законом сохранения вещества.

1. Определим количество вещества (число молей) газа в каждом баллоне до открытия крана.

Для первого баллона:

$p_1 V_1 = \nu_1 R T$

Отсюда количество вещества в первом баллоне: $\nu_1 = \frac{p_1 V_1}{R T}$.

Для второго баллона:

$p_2 V_2 = \nu_2 R T$

Отсюда количество вещества во втором баллоне: $\nu_2 = \frac{p_2 V_2}{R T}$.

Здесь $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная.

2. Общее количество вещества в системе до открытия крана равно сумме количеств вещества в каждом баллоне:

$\nu_{общ} = \nu_1 + \nu_2 = \frac{p_1 V_1}{R T} + \frac{p_2 V_2}{R T} = \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{R T}$.

3. После открытия крана газы смешиваются и занимают общий объем, равный сумме объемов двух баллонов:

$V = V_1 + V_2$.

Поскольку система замкнута и газы не реагируют, общее количество вещества остается неизменным: $\nu_{общ}$. В системе устанавливается новое, общее для обоих баллонов давление $\text{p}$.

4. Запишем уравнение состояния для всей системы после смешения газов при температуре $\text{T}$:

$p V = \nu_{общ} R T$

Подставим в это уравнение выражения для общего объема $\text{V}$ и общего количества вещества $\nu_{общ}$:

$p (V_1 + V_2) = \left( \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{R T} \right) R T$

Сократим универсальную газовую постоянную $\text{R}$ и температуру $\text{T}$:

$p (V_1 + V_2) = p_1 V_1 + p_2 V_2$

5. Выразим из полученного уравнения искомое конечное давление $\text{p}$:

$p = \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{V_1 + V_2}$

Ответ: Давление, которое установится в баллонах после открытия крана, равно $p = \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{V_1 + V_2}$.