Номер 9.14, страница 51 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.14, страница 51.

Условие.

9.14. Открытую с двух концов вертикальную стеклянную трубку длиной $l = 0.5 \text{ м}$ наполовину погружают в ртуть. Затем трубку закрывают сверху и вынимают. Какова длина $\text{x}$ оставшегося в трубке столбика ртути? Атмосферное давление $H = 750 \text{ мм рт. ст.}$

Решение.

Решение 2.

Дано:

$l = 0,5$ м

$H = 750$ мм рт. ст.

$H = 750 \text{ мм рт. ст.} = 0,75 \text{ м рт. ст.}$

Найти:

$\text{x}$ - ?

Решение:

Рассмотрим два состояния воздуха, запертого в трубке: начальное (когда трубка погружена в ртуть) и конечное (когда трубку вынули).

1. Начальное состояние (состояние 1).

Трубка открыта с двух концов и наполовину погружена в ртуть. Воздух занимает верхнюю половину трубки. Давление воздуха в трубке равно атмосферному давлению $p_1 = p_a$. Длина столба воздуха в трубке $l_1 = l/2$. Объем воздуха $V_1 = S \cdot l_1 = S \cdot l/2$, где $\text{S}$ – площадь поперечного сечения трубки. Атмосферное давление $p_a$ эквивалентно давлению столба ртути высотой $H = 750$ мм = $0,75$ м.

2. Конечное состояние (состояние 2).

Верхний конец трубки закрыли, и ее вынули из ртути. В трубке остался столбик ртути высотой $\text{x}$. Теперь воздух занимает объем над ртутью. Длина столба воздуха $l_2 = l - x$. Объем воздуха $V_2 = S \cdot (l - x)$. Давление воздуха стало $p_2$.

Этот столбик ртути находится в равновесии. Снизу на него действует атмосферное давление $p_a$, а сверху – давление запертого воздуха $p_2$ и гидростатическое давление самого столбика ртути $p_{рт} = \rho g x$. Условие равновесия:

$p_a = p_2 + p_{рт}$

Выразим все давления в метрах ртутного столба. Атмосферное давление соответствует $\text{H}$, давление столбика ртути — $\text{x}$. Тогда давление запертого воздуха $p_2$ будет соответствовать столбу ртути высотой $H - x$.

3. Применение закона Бойля-Мариотта.

Будем считать, что температура воздуха в трубке не изменялась (процесс изотермический). По закону Бойля-Мариотта, произведение давления газа на его объем остается постоянным:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

Подставим выражения для давлений (в метрах ртутного столба) и объемов:

$H \cdot (S \cdot \frac{l}{2}) = (H - x) \cdot (S \cdot (l - x))$

Площадь сечения $\text{S}$ сокращается:

$H \frac{l}{2} = (H - x)(l - x)$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в квадратное относительно $\text{x}$:

$\frac{Hl}{2} = Hl - Hx - lx + x^2$

$x^2 - (H + l)x + \frac{Hl}{2} = 0$

Подставим числовые значения в метрах:

$x^2 - (0,75 + 0,5)x + \frac{0,75 \cdot 0,5}{2} = 0$

$x^2 - 1,25x + 0,1875 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1,25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,1875 = 1,5625 - 0,75 = 0,8125$

Корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1,25 \pm \sqrt{0,8125}}{2} \approx \frac{1,25 \pm 0,9014}{2}$

Получаем два возможных решения:

$x_1 \approx \frac{1,25 + 0,9014}{2} \approx 1,076$ м

$x_2 \approx \frac{1,25 - 0,9014}{2} \approx 0,174$ м

Проанализируем полученные корни. Длина столбика ртути $\text{x}$ не может быть больше длины всей трубки $l = 0,5$ м. Поэтому корень $x_1 \approx 1,076$ м не имеет физического смысла.

Физически возможным является только второй корень $x_2 \approx 0,174$ м.

Ответ: Длина оставшегося в трубке столбика ртути $x \approx 0,174$ м или 17,4 см.