Номер 9.18, страница 51 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.18, страница 51.

Условие.

9.18. В центре откачанной и запаянной с обоих концов горизонтальной трубки длиной $L = 1,0$ м находится столбик ртути длиной $h = 20$ см. Если трубку поставить вертикально, столбик ртути сместится на $l = 10$ см. До какого давления $p_0$ была откачана трубка?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$L = 1,0 \text{ м}$

$h = 20 \text{ см}$

$l = 10 \text{ см}$

Плотность ртути $\rho = 13600 \text{ кг/м³}$

Ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с²}$

$h = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$
$l = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

Найти:

$p_0$

Решение:

1. В начальном состоянии, когда трубка расположена горизонтально, столбик ртути находится в центре. Газ в обеих частях трубки имеет одинаковое начальное давление $p_0$ и занимает одинаковый объем. Длина столба газа с каждой стороны равна:

$L_0 = \frac{L - h}{2} = \frac{1,0 \text{ м} - 0,2 \text{ м}}{2} = 0,4 \text{ м}$.

2. Когда трубку ставят вертикально, столбик ртути под действием собственной силы тяжести смещается вниз на расстояние $\text{l}$. В результате этого смещения объем газа над ртутью увеличивается, а его давление становится $p_1$. Объем газа под ртутью уменьшается, а его давление становится $p_2$.

Новые длины столбов газа:

Верхний: $L_1 = L_0 + l = 0,4 \text{ м} + 0,1 \text{ м} = 0,5 \text{ м}$.

Нижний: $L_2 = L_0 - l = 0,4 \text{ м} - 0,1 \text{ м} = 0,3 \text{ м}$.

3. Столбик ртути в вертикальном положении находится в равновесии. Это означает, что сила давления газа снизу ($F_2 = p_2 S$) уравновешивает сумму силы тяжести столбика ртути ($mg = \rho g h S$) и силы давления газа сверху ($F_1 = p_1 S$), где $\text{S}$ — площадь поперечного сечения трубки. Условие равновесия в виде давлений:

$p_2 = p_1 + \rho g h$.

4. Будем считать, что температура газа в трубке не изменяется, то есть процесс изотермический. Следовательно, мы можем применить закон Бойля-Мариотта ($pV = const$) для газа в верхней и нижней частях трубки.

Для газа в верхней части: $p_0 V_0 = p_1 V_1$. Так как $V_0 = S L_0$ и $V_1 = S L_1$, то $p_0 S L_0 = p_1 S L_1$, откуда $p_1 = p_0 \frac{L_0}{L_1}$.

Для газа в нижней части: $p_0 V_0 = p_2 V_2$. Так как $V_2 = S L_2$, то $p_0 S L_0 = p_2 S L_2$, откуда $p_2 = p_0 \frac{L_0}{L_2}$.

5. Подставим полученные выражения для $p_1$ и $p_2$ в уравнение равновесия:

$p_0 \frac{L_0}{L_2} = p_0 \frac{L_0}{L_1} + \rho g h$.

Перенесем слагаемое с $p_0$ в левую часть и вынесем общий множитель $p_0 L_0$ за скобки:

$p_0 L_0 \left( \frac{1}{L_2} - \frac{1}{L_1} \right) = \rho g h$.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$p_0 L_0 \left( \frac{L_1 - L_2}{L_1 L_2} \right) = \rho g h$.

Подставим выражения для $L_1$ и $L_2$ через $L_0$ и $\text{l}$: $L_1 - L_2 = (L_0 + l) - (L_0 - l) = 2l$, а $L_1 L_2 = (L_0 + l)(L_0 - l) = L_0^2 - l^2$.

$p_0 L_0 \frac{2l}{L_0^2 - l^2} = \rho g h$.

Выразим искомое начальное давление $p_0$:

$p_0 = \frac{\rho g h (L_0^2 - l^2)}{2 l L_0}$.

6. Подставим числовые значения и произведем расчет:

$p_0 = \frac{13600 \frac{\text{кг}}{\text{м³}} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с²}} \cdot 0,2 \text{ м} \cdot ((0,4 \text{ м})^2 - (0,1 \text{ м})^2)}{2 \cdot 0,1 \text{ м} \cdot 0,4 \text{ м}}$.

$p_0 = \frac{27200 \text{ Па} \cdot (0,16 \text{ м²} - 0,01 \text{ м²})}{0,08 \text{ м²}} = \frac{27200 \cdot 0,15}{0,08} \text{ Па}$.

$p_0 = 27200 \cdot \frac{15}{8} \text{ Па} = 3400 \cdot 15 \text{ Па} = 51000 \text{ Па}$.

Ответ: $p_0 = 51000 \text{ Па} = 51 \text{ кПа}$.